عجیب ولی واقعی، مقدار تابع زتای ریمان به ازای s=-1

تابع زتای ریمان، بصورت مجموع جملات سری نامتناهی ساخته شده با وارون توان های (حقیقی و مختلط) اعداد طبیعی تعریف میشود. در نگاه اول به نظر می رسد که تابع زتا برای مقادیر حقیقی s کوچکتر یا مساوی یک واگراست و مقداری ندارد. اما ریمان با روشی که به  تعمیم آنالیتکی تابع موسوم است مقادیری برای ورودی های خارج از دامنه به این تابع نسبت داده است. برای نمونه بر اساس این روش به ازای مقدار 1- برای ورودی s مقدار تابع برابر با 1/12- است.

موضوع شگفت انگیز در مورد این مقادیر توجیه پذیری آنها به کمک عملیات ساده ضرب و جمع است برای مثال توجیه برابری فوق را در قسمت نظرات این پست ببینید.