جاسازی بهینه n دایره در یک دایره، بطوری که فضای آزاد بین دایره ها کمترین باشد، یکی از مسائل رایج در ریاضیات کاربردی است. یافتن این چیدمانهای بهینه برای برخی از مقادیر n چندان هم ساده نیست. به عنوان مثال برای n=13، مساله تا سال 2003 حل نشده بود.
قطر دایره های کوچک در تصویر 1 است و قطر دایره دربرگیرنده هر گروه زیر آن نوشته شده است. مثلا میتوان 12 دایره به قطر واحد را در یک دایره به قطر 4.029 جا داد.
۱- مجموع ارقام عدد را محاسبه کنید تا عدد جدیدی بدست بیاید.
۲- عملیات قبل را تکرار کنید تا زمانی که به یک عدد یک رقمی برسید.
تعداد دفعات تکرار عملیات را مقاومت عدد در مقابل عمل جمع ارقام می‌نامند.
مثلا مقاومت عدد ۹۹ برابر۲ و مقاومت عدد ۱۰ برابر یک است.
این مسئله حل نشده که به حدس توپلیتز (Toeplitz' conjecture) مشهور است برای اولین بار در سال ۱۹۱۱ توسط اوتو توپلیتز مطرح شده است. درستی این ادعا برای وقتی که منحنی مورد نظر محدب (Convex) باشد و همچنین در حالات خاص دیگری به اثبات رسیده است. همچنین ثابت شده است که هر منحنی بسته ساده از روئوس یک مثلث متساوی‌الاضلاع میگذرد.
توضیحات بیشتر را در صفحه ویکی‌پدیای این مسئله ببینید.
عدد هیش برای هر شکل مسطح برابر با تعداد لایه‌هایی هست که میتوان آن شکل را دور خودش چید بطوری که صفحه را فرش کند و هیچ جای خالی باقی نگذارد.
برای مثال عدد هیش برای مربع یا شش ضلعی منتظم بینهایت است ولی در تصویر این پست شکلی با عدد ۴ دیده میشود.
تاکنون اشکالی با عدد هیش ۲،۳،۴ و ۵ پیدا شده‌اند ولی برای مقادیر بزرگتر از ۵ جستجو ادامه دارد. حدس زده میشود که برای هر مقدار n شکلی با عدد هیش n وجود دارد ولی این موضوع به اثبات نرسیده است.
برای دیدن اشکال دیگر اینجا و تصاویر موجود در قسمت نظرات را ببینید و اگر مطلب مرتبطی پیدا کردید در قسمت نظرات به اشتراک بگذارید.
این نقاشی افسون کننده کار یک هنرمند نیست بلکه کار یک تابع مختلط است. این تابع برای هر نقطه از صفحه مختلط، یک سری اعداد طبیعی تولید میکند.با رنگ کردن هر نقطه بر اساس مقدار عدد آن، چنین تصویری بوجود می آید.
تابع مولد این مجموعه بسیار ساده است. برای عدد مختط z تابع f(z)=z*z+c را تعریف میکنیم که در آن c عددی ثابت است. آنگاه با شروع از نقطه اولیه z0 ، مجموعه ای از اعداد مختلف را اینگونه تولید میکنیم:
z1=f(z0)
z2=f(z1)
zk=f(zk-1)...zN=f(zN-1)
بعد از تولید هر نقطه، قدر مطلق آن را با ثابت R مقایسه میکنیم. اگر قدر مطلق zk از ثابت R بزرگتر و k کمتر از N باشد، به اصلاح میگویند نقطه گریخته است و در این صورت عدد k را به آن نقطه انتصاب میدهیم. اگر نقطه نگریزد عدد N را به آن نسبت میدهیم.
نقاط تاریک تصویر گریخته ها هستند. این مجموعه اعداد به N و دو ثابت R و c بستگی دارد.
جواب نهایی 131 هستش
سطح زیر نمودار منحنی y=1/x بین مقادیر یک و دو با استفاده از انتگرال برابر با ln2 (لگاریتم طبیعی ۲) محاسبه میشود. از طرف دیگر همانطور که در تصویر نشان داده شده این سطح برابر مجموع جملات دنباله هارمونیک متناوب است.
اگر دو کره k1 و k2 را مماس بر صفحه و مخروط در نظر بگیریم نقاط تماس کانون‌های بیضی خواهند بود. توجه کنید که PP1 و PF1 برابرند چون هر در پاره خط بر کره k1 مماسند بنابراین مجموع فاصله هر نقطه دلخواه P که روی نقاط برخورد صفحه و مخروط قرار دارند از کانون‌های F1 و F2 برابر طول پاره‌خط P1P2 است.
اثبات این ادعا برای حالت‌های خاص چندان مشکل نیست. اگر موفق شدید ثابت کنید که هیچ مثلث متساوی الاضلاعی روی نقاط صفحه شطرنجی قابل رسم نیست راه حل خود را در قسمت نظرات به اشتراک بگذارید.
تصویر این پست توجیهی دیداری از تناظر نقاط روی پاره‌خط و محور اعداد را بدست میدهد. این برابری تلویحا به این معنی است که تعداد نقاط روی هر پاره خط از یک خط راست با تعداد کل نقاط روی خط برابر است.
به نظر شما چه اشکالی در این ادعا وجود دارد؟ در قسمت نظرات در این مورد بحث کنید.
آخرین رکورد ثبت شده در کتاب گینس برای به خاطر سپاری هفتاد هزار رقم از ارقام عدد پی در سال ۲۰۱۵ و توسط رجیور مینا (Rajveer Meena) از ولور در هند بدست آمده است. بازخوانی این ارقام با چشمان بسته و در مقابل چشم داوران گینس بیش از ۱۰ ساعت به طول کشیده است.
تصویری از این نوجوان را در بخش نظرات و مطالب بیشتر در این مورد را در اینجا ببینید.
فرض کنید دو جرم فیزیکی که وزن یکی بزرگتر از دیگری است، در یک دنیای بدون اصطکاک روی سطحی و در مقابل یک دیوار قرار دارند. فرض کنید جسم سنگین‌تر بر اثر یک ضربه به سمت جسم سبک‌تر حرکت میکند تا به آن برخورد کند. پس از برخورد مقداری از سرعت جسم سنگین‌تر کم میشود و در عوض جسم سبک‌تر با سرعت بیشتری به حرکت در می‌آید تا به دیوار بخورد و به سمت جسم سنگین‌تر برگردد و با آن برخورد کند. در اثر این برخوردها هر بار سرعت هر دو جسم عوض میشود تا اینکه نهایتا هر دو جسم در جهت مخالف دیوار به سمت بینهایت حرکت میکنند بدون اینکه برخورد دیگری داشته باشند.
با شمارش تعداد برخوردهای این دوجسم میتوان ارقام عدد پی را محاسبه کرد. تعداد ارقام محاسبه شده به نسبت وزن دو جسم بستگی دارد. جدول زیر تعداد برخوردها و رابطه آن با نسبت وزنی دو جرم را نشان میدهد نشان میدهد:
نسبت وزن دو جسم -> تعداد برخوردها
1 -> 3
10 -> 31
100 -> 314
1000 -> 3141
10000 -> 31415
100000 -> 314159
1000000 -> 3141592
10000000 -> 31415926
….
همانطور که دیده میشود تعداد برخوردها ارقام عدد پی را بدست میدهد.
اگر موفق به اثبات این ادعا شدید راه‌حل را در قسمت نظرات به اشتراک بگذارید. در غیر اینصورت لینک حاوی توضیحات بیشتر و اثبات این ادعا را در قسمت نظرات ببینید.
برای دیدن فرمول اینجا را ببینید.
فرض کنید ۱۰۰ کیلوگرم سیب زمینی داریم که ۹۹٪ وزن تشکیل دهنده آن آب است. با گذشت زمان مقداری از آب سیب زمینی‌ها از دست می‌رود و حالا ۹۸٪ وزن تشکیل دهنده آنها آب است. حالا سیب‌زمینی‌ها ۵۰ کیلوگرم وزن دارند.
از اونجایی که این اختلاف وزن کاملا خلاف انتظار است به این موضوع پارادوکس سیب زمینی می‌گوید.
آیا می‌توانید این ادعا را اثبات کنید؟
با کمک این ابزار آنلاین می‌توانید با دادن یک مجموعه از نقاط در قسمت input data و انتخاب تعداد دوایر (جملات بسط فوریه) منحنی دلخواه خود را رسم کنید.
اگر موفق به رسم شکل جالبی شدید تصویر شکل و نقاط مرجع را در قسمت نظرات به اشتراک بگذارید.
اعداد داخل مربع اندازه اضلاع می‌باشند. ساختن مربع با مربعهای کامل برخلاف ظاهرش یک مسئله مدرن است که با استفاده از قوانین فیزیک الکتریسته حل شده است.
پیدا کردن کمترین تعداد مربعهای کامل که مربع دیگری را پر کنند، بعد از گذشت ۴۰ سال از مطرح شدن این مسئله و با استفاده از کامپیوتر در سال ۱۹۷۸ حل شده است.
ثابت شده که پرکردن یک مکعب با مکعب‌های کامل بطور مشابه امکان پذیر نیست. همچنین جالب است که با وجود اینکه مجموع مربعات اعداد متوالی ۱ تا ۲۴ برابر با توان دوم ۷۰ است، بطور هندسی نمی‌توان با کنار هم گذاشتن این ۲۴ مربع، مربع ۷۰ در ۷۰ درست کرد.
مجموعه بزرگی از مربعهای کامل را در اینجا ببینید.
