مقدار دقیق A مشخص نیست ولی مقدار تقریبی A برابر با 1.306377883863080690 است. همچنین کسی نمی‌داند که آیا A عددی گویا یا گنگ است. اولین اعداد اولی که توسط این تابع و به ازای مقادیر ۱ تا ۵ برای n تولید میشوند عبارتند از:
2
11
1361
2521008887
16022236204009818131831320183
اثبات کوتاه میلز را میتوانید در اینجا ببینید.
همانطور که در شکل نشان داده شده است، حاصلضرب اویلر برابر با تابع زیتای ریمان است. شگفتی این برابری در این است که یک مجموع نامتناهی با یک حاصلضرب نامتناهی برابر شده است.
اثبات زیبای این برابری را میتوانید در این لینک ببینید.
اگر موفق به حل این مسئله شدید پاسخ را در قسمت نظرات به اشتراک بگذارید.
شکل هندسی زیبایی که سری فوریه نشان داده شده به آن همگرا میشود نتیجه یک اشتباه در محاسبات است. قصد داشتم استوانه را با سری فوریه دو بعدی بازسازی کنم ولی در نتیجه اشتباه در نوشتن بسط فوریه استوانه، این شکل که کمی با استوانه متفاوت است بدست آمد. سقف استوانه ها اندکی انحنا دارد و در مقایسه با باز سازی صحیح استوانه، لبه های استوانه برآمدگی (پدیده گیبز) بسیار کمتری دارند.بازسازی صحیح را نیز انجام داده ام ولی این شکل از آن زیباتر است.
شکل بر اساس فرمول های درج شده بالای تصویر ساخته شده است اما آن فرمول ها با بسط فوریه استوانه کمی تفاوت دارد. در بسط فوریه صحیح، جملاتی که m یا n غیر صفر دارند باید در 2 ضرب شوند؛ یعنی جملاتی که در آن m و n اگر هر دو صفر باشند ضریب 1 میگیرند، اگر فقط یکی از آن دو غیر صفر باشند ضریب 2 و اگر هر دو غیر صفر باشند ضریب 4. در این شکل برای همه جملات ضرایب 1 بکار رفته است.
بطور کلی قدر مطلق مقدار دترمینان ماتریس مربعی n در n برابر با حجم متوازی الاضلاعی است که با نقاط در فضای n بعدی ساخته میشود. در نمونه دو بعدی دترمینان مساحت متوازی الاضلاع را بدست میدهد.
بطور شهودی میتوان تصور کرد که در فضای سه بعدی هر گاه هر سه بردار قرمز رنگ روی یک صفحه باشند مقدار دترمینان صفر خواهد بود.
در فرم کلی تر برای هر عدد دلخواه n فقط تعداد محدودی از توانهای کامل اعداد طبیعی با تفاضل n وجود دارند. توضیحات بیشتر را در ویکی پدیا ببینید.
اثبات ریاضی دان رومانیایی (Preda Mihăilescu) را در اینجا ببینید.
مارپیچ اولام (Ulam spiral) یک نمایش گرافیکی از مجموعه اعداد اول است که توسط ریاضیدان استانیسلاو اولام در سال 1963 طراحی شده است و مدت کوتاهی بعد از آن در ستون بازی های ریاضی مارتین گاردنر در مجله Scientific America منتشر شد. این نمایش با نوشتن اعداد صحیح مثبت در یک مارپیچ مربع شکل و سپس علامت گذاری اعداد اول در آن ساخته شده است.
اولام و گاردنر تاکید زیادی بر ظاهر قابل توجه اقطار افقی و عمودی که حاوی تعداد زیادی از اعداد اول هستند داشتند. هر دو آنها اشاره كردند كه وجود چنین خطوط برجسته ای غیر منتظره نیست، زیرا این خطوط به چندجملهای درجه دومی مربوط می شوند که مانند چندجملهای مشهور اویلر (x^2 - x + 41) رشته‌هایی از اعداد اول تولید می‌کنند. مارپیچ اولام با مسایل عمده حل نشده در نظریه اعداد مرتبط است.
«چهار اثر از فلورانس اسکاول شین» یکی از تاثیرگذارترین کتاب‌های دنیا می‌باشد که توسط نویسنده‌ی آمریکایی، خانم فلورانس اسکاول شین در سال ۱۹۸۹ به رشته تحریر درآمد.
اثبات این ادعا را در این مقاله ببینید.
Frobenius norm ماتریس برابر است با جذر مجموع مربعات عناصر ماتریس.
یکی از مسائل رایج در علوم مهندسی یافتن مقدار کمینه یا بیشنه توابع چند متغیره است که طبق معمول، این کار را نیز به کمک کامپیوتر انجام میدهند. یافتن مقدار بیشینه برای کامپیوتر مانند پیدا کردن قله تپه در هوای مه آلود است برای آدمی. کامپیوتر فقط تعریف تابع را داد و هیچ ایده ای در مورد موقیعت قله ندارد بلکه از یک نقطه حدسی شروع کرده و در جهت بیشترین شیب که همان بردار گرادیان تابع است مسافتی را طی کرده تا به نقطه جدیدی برسد. سپس و از آنجا دوباره بیشترین شیب را دنبال میکند و همینطور ادامه میدهد تا به قله برسد. اما در حالت کلی یافتن مسافت بهینه در هر مرحله کار دشواری است، از این رو معمولا روش ساده گام های کوچک را بکار میبرند. در این روش در هر مرحله مسافت کمی در جهت بردار گرادیان پیش رفته تا به نقطه جدید برسد. سپس در نقطه جدید مجددا بردار گرادیان محاسبه میشود و همینطور تا قله پیش میرود. این روش ساده هم معمولا به خوبی روش مسافت بهینه جواب میدهد اما ممکن است نیاز به محاسبه گرادیان به دفعات بسیار زیاد باشد.
بطور کلی الگوریتم دنبال کردن شیب gradient ascent نامیده میشود. یکی از مشکلات این الگوریتم و الگوریتم های مشابه این است که ممکن است، بستگی به نقطه شروع، به جای ماگزیمم مطلق، به ماگزیمم نسبی را پیدا کنند. در این نقطه بردار گرادیان صفر میشود و الگوریتم بر این گمان است که به قله رسیده است.
یافتن مقدار کمینه تابع کاملا مشابه همین الگوریتم است با این تفاوت که در هر مرحله باید در جهت عکس بردار گرادیان پیش رفت که در این حالت gradient descent نامیده میشود.
#ریاضیات_کاربردی
مساحت دو قسمت قرمز و آبی که در شکل مشخص شده اند با هم برابر و قوس ها همه نیم دایره اند. مقدار d را چقدر است.
اگر موفق به اثبات این ادعا شدید راه حل را در قسمت نظرات به اشتراک بگذارید
توضیحات بیشتر را اینجا ببینید
#ریاضیات_کاربردی
برای اسباب کشی مجبورید کاناپه خود را از پیچ 90 درجه راهرو تنگی به عرض 1 متر بگذرانید. این را یک مساله را دو بعدی در نظر بگیرید و کاناپه را یک شکل دلخواه تصور کنید که میتواند هیچ شباهتی هم به کاناپه نداشته باشد. بزرگترین کاناپه ای که میتوان از پیچ راهرو گذراند چند متر مربع مساحت دارد؟
مساحت این کاناپه به ثابت کاناپه معروف است. ریاضیدانان هنوز مقدار دقیق این ثابت را نیافته اند ولی توانسته اند ثابت کنند که عددیست بین 2.2195 و 2.37.
درکارتون فوتبالیست ها، بارها شاهد صحنه هایی بوده ایم که با عبور کاپیتان سوباسا از خط وسط زمین و پیشروی او به سمت دروازه حریف، کم کم دروازه و دروازه بان از پشت انحنای کره زمین ظاهر میشوند.
به فرض اینکه طول زمین 90 متر و ارتفاع دروازه 2.44 متر است و دوربینی که صحنه را میبیند روی کفش کاپیتان سوباسا نصب شده است، شعاع کره زمین چند متر است؟
در حالت کلی همه اعداد n رقمی بجز ۱۰ به توان n منهای ۲، در حاصل تقسیم ۱ بر ۹۹...۹ (با n رقم ۹) به توان ۲ ظاهر میشوند.
اگر موفق به اثبات این ادعا شدید راه حل را در قسمت نظرات به اشتراک بگذارید.
