اگر موفق به یافتن کوچکترین عددی که داری این خاصیت در مبنای ۲، ۳، ۴، ۵ و ۶ شدید در قسمت نظرات به اشتراک بگذارید.

اگر رشته‌ي اعدادی که با جایگزین کردن هر عدد با مجموع مربعات ارقام آن بدست می‌آید به یک پایان یابد آن عدد را خوشحال (Happy) می‌نامند. 

برای هر عدد طبیعی n میتوان n عدد متوالی خوشحال (Happy Number) پیدا کرد. برای مثال ۱۸۸۰٬‍۱۸۸۱ و ۱۸۸۲ سه عدد طبیعی خوشحال هستند. 

اولین رشته متوالی از ۶ عدد متوالی خوشحال با ۷۸۹۹۹۹۹۹۹۹۹۹۹۹۵۹۹۹۹۹۹۹۹۹۶  شروع می‌شود.

 

پیش از نیوتن، کپلر با اتکا به مشاهدات تجربی، چند قانون در مورد حرکت سیارات استخراج کرده بود. اولین قانون کپلر این است که مسیر حرکت سیارات به دور خورشید بیضی است و خورشید در یکی از این کانون های این بیضی قرار دارد.
نیوتون و با کشف مبانی ریاضی نیروی گرانش و قوانین مکانیک موفق شد قوانین کپلر را با روشهای ریاضی اثبات کند. در ملاقاتی که بین نیوتن و ادموند هالی رخ داد، نیوتن با اعتماد به نفس میگوید که مسیر حرکت سیارات به دور خورشید بیضوی است چون این را محاسبه کرده است. اما اثبات این ادعا به روش کاملا ریاضی سالها ریاضی دانان از جمله خود او را خسته کرد.
امروزه با پیشرفت هایی که در شاخه های معادلات دیفرانسیال و آنالیز برداری  صورت گرفته است این اثبات نسبتا آسان است و تمرین خوبی است برای رسیدن به فهم عمیق تر این مباحث.
اطلاعات بیشتر حول این موضوع و همچنین اثبات امروزی  ادعای نیتون را میتوانید در این لینک ببینید.

اگر نقطه P در داخل مستطیل ABCD باشد آنگاه:

AP*AP + CP*CP = BP*BP + DP*DP

اگر موفق به اثبات این برابری شدید راه حل را در قسمت نظرات به اشتراک بگذارید.

درستی این ادعا را برای هر عدد اول بزرگتر از ۳ اثبات کنید و در قسمت نظرات به اشتراک بگذارید. 

نمایش هندسی این الگوریتم در یکی از پست های گذشته آورده شد. این تصویر الگوریتم اقلیدس را به روش حسابی و با کمک کسرهای مسلسل شرح می دهد.

ثابت شده که دقیقا ۸۸ عدد خودشیفته وجود دارد که کوچکترین آن یک و بزرگترین آنها 

115132219018763992565095597973971522401 است.

 

الگوریتمی که شرح آن در تصویر آمده است را با نام الگوریتم اقلیدس میشناسند. این الگوریتم  بزرگترین مقسوم علیه مشترک دو عدد را پیدا میکند.

در این روش ابتدا مستطیلی با طولی و عرضی برابر با اعدادی که می‌خواهیم بزرگترین مقسوم علیه مشترک آنها را پیدا کنیم در نظر میگیریم و سپس تلاش میکنیم تا شکل را با بزرگترین مربع‌های ممکن پوشش دهیم.

بزرگترین مقسوم علیه مشترک دو عد برابر با اندازه آخرین مربع خواهد بود.

اگر می‌توانید علت درستی این ادعا را توضیح دهید، در قسمت نظرات کامنت بگذارید.

رابطه‌ای که در شکل نمایش داده شده صورتی تغییر یافته از تابع گاماست. تابع گاما (Γ) تعمیمی از تابع فاکتوریل برای اعداد حقیقی و مختلط (بجز اعداد صحیح منفی) بدست میدهد. 

تعمیم تعریف فاکتوریل (1x2x3x...xN) به خارج از مجموعه اعداد طبیعی از قرن ۱۷هم مورد توجه ریاضیدانانی مثل برنولی بوده است. با وجود اینکه تابع گاما کاربرد مشخصی ندارد تحقیقات نظری مفصلی در مورد آن انجام شده است و مهمترین دلیل آن همین خاصیت تابع گاماست. برای دیدن بعضی از این نتایج ویکی پدیا را ببینید.

همچنین در قسمت نظرات تصاویر بیشتری را راجع به تابع گاما مشاهده کنید.

 

 

شکل فوق با شروع از یک مثلث قائم الزاویه و با ساختن مربع هایی روی اضلاع و‌ پاره خط ها رسم شده است.

اگر موفق به اثبات هریکی از ادعاهای فوق شدید راه حل را در قسمت نظرات به اشتراک بگذارید.

بردار های ویژه و مقادیر ویژه ماتریس کاربرد وسیعی در علوم مهندسی و ریاضیات کاربردی دارند.
اگر ماتریس مربعی A به ابعاد  nxn را در بردار n بُعدی u ضرب کنیم، حاصل این ضرب  بردار n بعدی v میشود:  Au=v
اگر v در امتداد u  واقع شود u بردار ویژه ماتریس است، یعنی Au=lamda*u

که در این صورت lamda مقدار ویژه متناظر با بردار ویژه u است. اهمیت رابطه فوق در این است که یک عدد جایگزین ماتریس شده است.
بردار ویژه در واقع فقط یک امتداد است. یعنی اگر u بردار ویژه باشد، a*u نیز بردار ویژه است که a میتواند 1- نیز باشد. هر ماتریس nxn اگر دترمینان آن صفر نباشد، n  بردار ویژه دارد و اگر ماتریس متقارن  باشد همه lamda  ها و u  ها حقیقی اند. یافتن مقادیر ویژه و بردار های ویژه ماتریس های با n>2 مستلزم حل معادله درجه n  است که برای n های بزرگ کاری بسیار دشوار است. روشهایی برای یافتن بردارهای ویژه ابداع شده است که ساده ترین آنها  Power Iteration است. این روش فقط بردار ویژه متناظر با بزرگترین lamda  را می یابد ولی فرایند بسیار ساده ای دارد:
1. یک بردار تصادفیx0  را برداشته و ماتریس را در آن ضرب کنید: x1=Ax0
2. بردار حاصل را بر طول خودش تقسیم کرده تا بردار واحد شود.

3. ماتریس را در بردار واحد حاصل ضرب کنید و عملیات مرحله های 2  و 3 را تکرار کنید تا زمانی که بردار حاصل هم جهت با بردار مضروب شود.

4. بردار حاصل بردار ویژه است و طول آن قبل از آنکه واحد شود برابر با قدر مطلق lamda است.
 

اگر موفق به طراحی ارقام فارسی با این خاصیت شدید تصویر آن را در قسمت نظرات به اشتراک بگذارید.

متن مقاله را در اینجا  ببینید.