الگوریتمی که شرح آن در تصویر آمده است را با نام الگوریتم اقلیدس میشناسند. این الگوریتم  بزرگترین مقسوم علیه مشترک دو عدد را پیدا میکند.

در این روش ابتدا مستطیلی با طولی و عرضی برابر با اعدادی که می‌خواهیم بزرگترین مقسوم علیه مشترک آنها را پیدا کنیم در نظر میگیریم و سپس تلاش میکنیم تا شکل را با بزرگترین مربع‌های ممکن پوشش دهیم.

بزرگترین مقسوم علیه مشترک دو عد برابر با اندازه آخرین مربع خواهد بود.

اگر می‌توانید علت درستی این ادعا را توضیح دهید، در قسمت نظرات کامنت بگذارید.

رابطه‌ای که در شکل نمایش داده شده صورتی تغییر یافته از تابع گاماست. تابع گاما (Γ) تعمیمی از تابع فاکتوریل برای اعداد حقیقی و مختلط (بجز اعداد صحیح منفی) بدست میدهد. 

تعمیم تعریف فاکتوریل (1x2x3x...xN) به خارج از مجموعه اعداد طبیعی از قرن ۱۷هم مورد توجه ریاضیدانانی مثل برنولی بوده است. با وجود اینکه تابع گاما کاربرد مشخصی ندارد تحقیقات نظری مفصلی در مورد آن انجام شده است و مهمترین دلیل آن همین خاصیت تابع گاماست. برای دیدن بعضی از این نتایج ویکی پدیا را ببینید.

همچنین در قسمت نظرات تصاویر بیشتری را راجع به تابع گاما مشاهده کنید.

 

 

شکل فوق با شروع از یک مثلث قائم الزاویه و با ساختن مربع هایی روی اضلاع و‌ پاره خط ها رسم شده است.

اگر موفق به اثبات هریکی از ادعاهای فوق شدید راه حل را در قسمت نظرات به اشتراک بگذارید.

بردار های ویژه و مقادیر ویژه ماتریس کاربرد وسیعی در علوم مهندسی و ریاضیات کاربردی دارند.
اگر ماتریس مربعی A به ابعاد  nxn را در بردار n بُعدی u ضرب کنیم، حاصل این ضرب  بردار n بعدی v میشود:  Au=v
اگر v در امتداد u  واقع شود u بردار ویژه ماتریس است، یعنی Au=lamda*u

که در این صورت lamda مقدار ویژه متناظر با بردار ویژه u است. اهمیت رابطه فوق در این است که یک عدد جایگزین ماتریس شده است.
بردار ویژه در واقع فقط یک امتداد است. یعنی اگر u بردار ویژه باشد، a*u نیز بردار ویژه است که a میتواند 1- نیز باشد. هر ماتریس nxn اگر دترمینان آن صفر نباشد، n  بردار ویژه دارد و اگر ماتریس متقارن  باشد همه lamda  ها و u  ها حقیقی اند. یافتن مقادیر ویژه و بردار های ویژه ماتریس های با n>2 مستلزم حل معادله درجه n  است که برای n های بزرگ کاری بسیار دشوار است. روشهایی برای یافتن بردارهای ویژه ابداع شده است که ساده ترین آنها  Power Iteration است. این روش فقط بردار ویژه متناظر با بزرگترین lamda  را می یابد ولی فرایند بسیار ساده ای دارد:
1. یک بردار تصادفیx0  را برداشته و ماتریس را در آن ضرب کنید: x1=Ax0
2. بردار حاصل را بر طول خودش تقسیم کرده تا بردار واحد شود.

3. ماتریس را در بردار واحد حاصل ضرب کنید و عملیات مرحله های 2  و 3 را تکرار کنید تا زمانی که بردار حاصل هم جهت با بردار مضروب شود.

4. بردار حاصل بردار ویژه است و طول آن قبل از آنکه واحد شود برابر با قدر مطلق lamda است.
 

اگر موفق به طراحی ارقام فارسی با این خاصیت شدید تصویر آن را در قسمت نظرات به اشتراک بگذارید.

متن مقاله را در اینجا  ببینید.

 

دنباله ریکامان (Recamán's sequence) با شروع از صفر و با اضافه یا کم کردن اعداد متوالی طبیعی و با ترجیح تولید کوچکترین اعداد بدست می‌آید. به طور مشخص هرگاه تفریق ممکن باشد عدد طبیعی بعدی را از آخرین عدد دنباله کم میکنیم تا عدد بعدی بدست بیاید. به این ترتیب جملات اول دنباله عبارتند از:

۰   

۰ + ۱ = ۱

۱ + ۲ = ۳

۳ + ۳ = ۶

۶ - ۴ = ۲

۲ + ۵ = ۷

۷ + ۶ =‌ ۱۳

...

به نظر می رسد که این دنباله بتواند همه اعداد طبیعی را تولید کند ولی این ادعا به عنوان یک مسئله حل نشده ریاضی باقی مانده است.

برای مثال جستجو برای عدد ۸۵۲۶۵۵ در ۱۰ به توان ۲۳۰ جمله اول دنباله بی نتیجه بوده است. 

 

اسپیروگراف (به انگلیسی: Spirograph) یا چرخ‌نگار که در ایران با نام دوایر جادوییِ اقلیدس شناخته می‌شود، نوعی اسباب‌بازی است که برای کشیدن اَشکال هندسیِ پدیدآمده از منحنیهای ریاضی با روشِ درون‌چرخه‌زاد (چرخش دایره‌ها روی محیط یکدیگر) به‌کار می‌رود. اسپیروگراف اولین بار به‌دست دنیس فیشر گسترش یافت و در سال ۱۹۶۵ به بازار ارائه شد.

از واژهٔ اسپیروگراف برای نام بردن از گسترهٔ ابزارهایی که برای کشیدن چنین اشکالی به‌کار می‌روند هم استفاده می‌شود. حتی می‌تواند برای نامیدن منحنی‌های درون‌چرخه‌زاد نیز به‌کار رود. اسپیروگراف از زمان خریده شدنِ شرکت دنیس فیشر به‌دست شرکت اسباب‌بازی‌سازی هازبرو، یک نشان تجاری ثبت‌شدهٔ شرکت هازبرو است.

نقل از ویکی‌پدیا

 

در سایت دسموس که ابزار رسم آنلاین نمودار توابع ریاضی است با فرمول‌های دوایر جادویی آشنا شوید و با بازی کردن با پارامترهای تابع اشکال دلخواه رسم کنید.

تابع زتای ریمان، بصورت مجموع جملات سری نامتناهی ساخته شده با وارون توان های (حقیقی و مختلط) اعداد طبیعی تعریف میشود. در نگاه اول به نظر می رسد که تابع زتا برای مقادیر حقیقی s کوچکتر یا مساوی یک واگراست و مقداری ندارد. اما ریمان با روشی که به  تعمیم آنالیتکی تابع موسوم است مقادیری برای ورودی های خارج از دامنه به این تابع نسبت داده است. برای نمونه بر اساس این روش به ازای مقدار 1- برای ورودی s مقدار تابع برابر با 1/12- است.

موضوع شگفت انگیز در مورد این مقادیر توجیه پذیری آنها به کمک عملیات ساده ضرب و جمع است برای مثال توجیه برابری فوق را در قسمت نظرات این پست ببینید.

بطور کلی برای محاسبه سطح زیر نمودار تابع (f(x بین دو مقدار دلخواه برای x (مثلا صفر و یک) محدوده مورد نظر را روی محور x ها به n قسمت تقسیم کرده و با استفاده از مستطیل‌هایی مانند شکل مساحت را تقریب میزنند. 

صورت‌های متعددی از مجموع ریمان وجود دارد که به مجموع چپ، راست و مرکز مشهورند.

همچنین به جای مستطیل میتوان از ذوزنقه‌هایی که نقاط متوالی را به هم وصل می‌کند استفاده کرد تا مساحت دقیقتری بدست آید.

توضیحات کامل را در ویکی‌پدیا ببینید.

هنوز فرمول واحدی برای حل معادله درجه سوم (ax3 + bx2 + cx +d = 0) مشابه آنچه برای معادله درجه دو وجود دارد کشف نشده است. همانطور که در معادلات دیده میشود یک ریشه معادله درجه سوم همواره عددی حقیقی خواهد بود و دو ریشه دیگر ممکن است حقیقی یا مختلط باشند.

برخلاف ظاهر ساده مسئله یافتن ریشه‌های چندجمله‌ای درجه سوم، حل این معادله بطور کامل برای صدها سال به صورت یک معما باقی‌مانده بود. 

ریاضی دان ایرانی حکیم عمر خیام در قرن یازدهم میلادی پیشرفت‌های بزرگی در حل این معادلات بوجود آورد از جمله اینکه نشان داد معادله درجه سوم می‌تواند بیشتر از یک ریشه داشته باشد و حل هندسی معادله با خط کش و پرگار که از جمله روش‌هایی بود که تا آن زمان استفاده شده بود امکان پذیر نیست. 

تاریخچه جالب رقابت ریاضیدانان برای حل این معادله و روش های عملی تری برای حل معادله درجه سوم در اینجا توضیح داده شده است.

مقدار دقیق A مشخص نیست ولی مقدار تقریبی A برابر با 1.306377883863080690 است. همچنین کسی نمی‌داند که آیا A عددی گویا یا گنگ است. اولین اعداد اولی که توسط این تابع و به ازای مقادیر ۱ تا ۵ برای n تولید میشوند عبارتند از:

2

11

1361

2521008887

16022236204009818131831320183

 

اثبات کوتاه میلز را میتوانید در اینجا ببینید.

همانطور که در شکل نشان داده شده است، حاصلضرب اویلر برابر با تابع زیتای ریمان است. شگفتی این برابری در این است که یک مجموع نامتناهی با یک حاصلضرب نامتناهی برابر شده است.

اثبات زیبای این برابری را میتوانید در این لینک ببینید.

اگر موفق به حل این مسئله شدید پاسخ را در قسمت نظرات به اشتراک بگذارید.

شکل هندسی زیبایی که سری فوریه نشان داده شده به آن همگرا میشود نتیجه یک اشتباه در محاسبات است. قصد داشتم استوانه را با سری فوریه دو بعدی بازسازی کنم ولی در نتیجه اشتباه در نوشتن بسط فوریه استوانه، این شکل که کمی با استوانه متفاوت است بدست آمد. سقف استوانه ها اندکی انحنا دارد و در مقایسه با باز سازی صحیح استوانه، لبه های استوانه  برآمدگی (پدیده گیبز) بسیار کمتری دارند.بازسازی صحیح را نیز انجام داده ام ولی این شکل از آن زیباتر است.
شکل بر اساس فرمول های درج شده بالای تصویر ساخته شده است اما آن فرمول ها با بسط فوریه استوانه کمی تفاوت دارد. در بسط فوریه صحیح، جملاتی که m یا n غیر صفر دارند باید در 2 ضرب شوند؛ یعنی جملاتی که در آن m و n اگر هر دو  صفر باشند ضریب 1 میگیرند، اگر فقط یکی از آن دو غیر صفر باشند ضریب 2 و اگر هر دو غیر صفر باشند ضریب 4.  در این شکل برای همه جملات ضرایب 1 بکار رفته است.