اگر موفق به اثبات این ادعا شدید راه حل را در قسمت نظرات به اشتراک بگذارید

متن مقاله را در اینجا  ببینید.

 

سلام

از اینکه همراه این کانال هستید قدردان و متشکریم.

اگر از مطالب ارسال شده در این کانال راضی هستید با باز نشر مطالب بین دوستان و گروه‌های مرتبط از این کانال حمایت کنید.

ضمنا اگر مطلب جالبی در موضوع ریاضیات تفریحی پیدا کردید به سایت درباره بفرستید تا با نام شما در کانال منتشر شود. انجام این کار بسیار ساده است و کمک بزرگی در حفظ تداوم مطالب خواهد کرد. برای نمونه پست‌های کاربرانی مثل LesterFarley و Cvv را ببینید. لطفا از ارسال پرسش‌های ریاضی و مطالب درسی خودداری کنید.

اگر هر سوال یا پیشنهادی دارید در زیر همین پست مطرح کنید.

آخرین رکورد ثبت شده در کتاب گینس برای به خاطر سپاری هفتاد هزار رقم از ارقام عدد پی در سال ۲۰۱۵ و توسط رجیور مینا (Rajveer Meena) از ولور در هند بدست آمده است. بازخوانی این ارقام با چشمان بسته و در مقابل چشم داوران گینس بیش از ۱۰ ساعت به طول کشیده است.

تصویری از این نوجوان را در بخش نظرات و مطالب بیشتر در این مورد را در اینجا ببینید.

این عدد اول ۲۴،۸۶۲،۰۴۸ رقمی توسط یک متخصص آی تی ۳۵ ساله ساکن فلوریدای آمریکا کشف شده است. پاتریک یکی از هزاران نفری است که بخشی از توان محاسباتی کامپیوترهای شخصی‌اش را به نرم افزار محاسباتی GIMP که به جستجو برای اعداد اول مرسن مشغول است اهدا کرده است. شما هم میتوانید به این پروژه بپیوندید و شاید عدد اول بعدی را شما پیدا کنید!

درستی این ادعا را برای هر عدد اول بزرگتر از ۳ اثبات کنید و در قسمت نظرات به اشتراک بگذارید. 

فرض کنید دو جرم فیزیکی که وزن یکی بزرگتر از دیگری است، در یک دنیای بدون اصطکاک روی سطحی و در مقابل یک دیوار قرار دارند. فرض کنید جسم سنگین‌تر بر اثر یک ضربه به سمت جسم سبک‌تر حرکت میکند تا به آن برخورد کند. پس از برخورد مقداری از سرعت جسم سنگین‌تر کم میشود و در عوض جسم سبک‌تر با سرعت بیشتری به حرکت در می‌آید تا به دیوار بخورد و به سمت جسم سنگین‌تر برگردد و با آن برخورد کند. در اثر این برخورد‌ها هر بار سرعت هر دو جسم عوض می‌شود تا اینکه نهایتا هر دو جسم در جهت مخالف دیوار به سمت بینهایت حرکت میکنند بدون اینکه برخورد دیگری داشته باشند.

 

با شمارش تعداد برخوردهای این دوجسم میتوان ارقام عدد پی را محاسبه کرد. تعداد ارقام محاسبه شده به نسبت وزن دو جسم بستگی دارد. جدول زیر تعداد برخوردها و رابطه آن با نسبت وزنی دو جرم را نشان میدهد نشان میدهد:

 

نسبت وزن دو جسم -> تعداد برخوردها

1 -> 3

10 -> 31

100 -> 314

1000 -> 3141

10000 -> 31415

100000 -> 314159

1000000 -> 3141592

10000000 -> 31415926

….

همانطور که دیده میشود تعداد برخوردها ارقام عدد پی را بدست میدهد.

 

اگر موفق به اثبات این ادعا شدید راه‌حل را در قسمت نظرات به اشتراک بگذارید. در غیر اینصورت لینک حاوی توضیحات بیشتر و اثبات این ادعا را در قسمت نظرات ببینید.

اگر نمودار یک تابع را قیافه آن تابع بدانیم، تابع گاما بد قیافه ترین تابعی است که تا کنون دیده ام. اگر تابعی قِناس تر از تابع گاما سراغ دارید لطفا معرفی کنید.

اول بودن این عدد را میتوانید بصورت احتمالی در این سایت امتحان کنید.

139800000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000050000055000005000005500005500000500000550000050000000000000000000000000050055055055005005005005505505500500550550550550050050000000000000000000000050055055055055005005005505505500500550550550550550050000000000000000000000050055055055055055005505505505500500550550550550550055000000000000000000000050055055055055055005505505505505500550550550550550055000000000000000000000550055055055055055005505505505505500550550550550550055000000000000000000000550055055055055055005505505505505500550550550550550055000000000000000000000550055055055055055005505505505505500550550550550550055000000000000000000000555055055055055055005505505505505500550550550550550055000000000000000000000555055055055055055005505505505505500550550550550550055000000000000000000000555055055055000000000005505505500000000000550550550055000000000000000000000555055055050005555555500005500005555555500050550550055000000000000000000000555055055000555555555555500005555555555555000550550555000000000000000000000050055055005555500055555555055555550005555500550050050000000000000000000000000000000005555500000005555555500000005555500000000000000000000000000000000555555555555555555555555555555555555555555555555555555000000000000000000000555555555555555555555555555555555555555555555555555555000000000000000000000000000000000000055555555000000555555550000000000000000000000000000000000000555055055055000555555500005500000555555000550550550555000000000000000000000555055055055005555500005505505500005555500550550550555000000000000000000000555055055055000050005505505505505500050000550550550055000000000000000000000555055055055055005005505505505505550500550550550550055000000000000000000000555055055055055055505505505505505500550550550550550055000000000000000000000555055055055055055505505505505505500550550550550550055000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000005555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555500000000000005555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555500000000000000555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555000000000000000055555555555555555555555555555555555555555555555555555555550000000000000000055555555555555555555555555555555555555555555555555555555550000000000000000005555555555555555555555555555555555555555555555555555555500000000000000000000555555555555555555555555555555555555555555555555555555000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000055500005550055005500555555500000005550000000000000000000000000000000000000055500005555555555505550005550000005555000000000000000000000000000000000000005550000555555555000555555550000055555000000000000000000000000000000006000005550000555000000000055555550000555055500000000000000000000000000000000000005550000055500000000000000555000555005550000000000000000000000000000000000000550000055500000000000000555005550005550000000000000000000000000000000000000550000055000000000000000055000500000500000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000001

فرض کنید ۱۰۰ کیلوگرم سیب زمینی داریم که ۹۹٪ وزن تشکیل دهنده آن آب است. با گذشت زمان مقداری از آب سیب زمینی‌ها از دست می‌رود و حالا ۹۸٪ وزن تشکیل دهنده‌ آنها آب است. حالا سیب‌زمینی‌ها ۵۰ کیلوگرم وزن دارند.

از اونجایی که این اختلاف وزن کاملا خلاف انتظار است به این موضوع پارادوکس سیب زمینی می‌گوید. 

آیا می‌توانید این ادعا را اثبات کنید؟

چندی پیش خبر تهیه اولین تصویر سیاهچاله در کانالهای خبری و شبکه های اجتماعی پیچید.‌ این تصویر در واقع صحنه ۵۵ میلیون سال پیش است، چون آنقدر از ما دور است که ۵۵ میلیون سال طول کشیده است تا نور آن به ما برسد. ضمنا تصویر را از نور مرئی بدست نیاورده اند بلکه آن را از امواج رادیویی که از سیاهچاله رسیده است و با روش محاسباتی خاصی نتیجه گرفته اند. با اندکی ریاضیات میشود نشان داد که تصویر دو بعدی منبع امواج برابر است با تبدیل فوریه الگوی تداخل آن بر روی زمین.
خود سیاهچاله را نمیشود دید ولی با دریافت امواج الکترومغناطیسی اطراف آن می‌شود سیاهی اش را تشخیص داد.  نزدیک ترین سیاهچاله  مناسب برای رویت همین سیاهچاله M87 است که ۵۵ میلیون سال نوری از ما دور است. از خورشید ۲۷,۰۰۰ بار بزرگتر و میلیاردها بار سنگینتر است. قطر ظاهری آن در آسمانِ زمین به اندازه ای کوچک است که مثلا بخواهیم از روی قله دماوند تار مویی را در ساحل خلیج فارس در شهر بوشهر تشخیص دهیم. زاویه رویت این سیاهچاله نزدیک به یک «صد میلیونم» درجه است. قویترین تلسکوپ های نوری قدرت تشخیص چنین زاویه کوچکی را ندارند؛ به عنوان مثال قدرت تشخیص تلسکوپ Hubble  یک «صد هزارم» درجه است. برای تشخیص M87 از روش تداخل امواج استفاده شده است که در آن لازم است از نقاط مختلف روی زمین تصویر رادیویی ثبت شود. هرچه فاصله نقاط بیشتر باشد اجسام دورتری را میتوان تشخیص داد، و هر چه تعداد نقاط بیشتر باشد کیفت تصویر بهتر است. تعداد ۸ تلسکوپ رادیویی در چند نقطه کره زمین نصب کرده اند که با چرخش کره زمین موقعیتشان نسبت به سیاه چاله تغییر کرده و تصاویر مستقل ثبت میکنند. هر تلسکوپ خود از ده ها و گاهی صدها آنتن تشکیل شده است. به مدت 8 ساعت تصاویر فراوانی از M87 تهیه کرده و سپس داده ها را با هواپیما به یک آزمایشگاه مرکزی حمل کردند. به علت حجم بسیار بالای داده ها، هواپیما بسیار زودتر از اینترنت آنها را به مقصد میرساند.

در آزمایشگاه مرکزی با کمک یک کامپیوتر پرقدرت، تصاویر ثبت شده از ایستگاه های مختلف را همزمان کرده و سپس الگوی تداخل آنها را بدست آوردند. سپس با محاسبه تبدیل فوریه دو بعدی الگو ی تداخل، این شکل نه چندان واضح را بدست آوردند. با افزایش تعداد نقاط تصویر برداری و افزایش فاصله آنها میتوان تصویر واضح تری بدست آورد.

این مسئله حل نشده که به حدس توپلیتز (Toeplitz' conjecture) مشهور است برای اولین بار در سال ۱۹۱۱ توسط اوتو توپلیتز مطرح شده است. درستی این ادعا برای وقتی که منحنی مورد نظر محدب (Convex) باشد و همچنین در حالات خاص دیگری به اثبات رسیده است. همچنین ثابت شده است که هر منحنی بسته ساده از روئوس یک مثلث متساوی‌الاضلاع میگذرد.

 

توضیحات بیشتر را در صفحه ویکی‌پدیای این مسئله ببینید.

اگر موفق به طراحی ارقام فارسی با این خاصیت شدید تصویر آن را در قسمت نظرات به اشتراک بگذارید.

این نقاشی افسون کننده کار یک هنرمند نیست بلکه کار یک تابع مختلط است. این تابع برای هر نقطه از صفحه مختلط، یک سری اعداد طبیعی تولید میکند.با رنگ کردن هر نقطه بر اساس مقدار عدد آن، چنین تصویری بوجود می آید.
تابع مولد این مجموعه بسیار ساده است. برای عدد مختط z تابع f(z)=z*z+c را تعریف میکنیم که در آن c عددی ثابت است. آنگاه با شروع از نقطه اولیه z0  ، مجموعه ای از اعداد مختلف را اینگونه تولید میکنیم:

 

z1=f(z0)

 

z2=f(z1)

 

zk=f(zk-1)

...

zN=f(zN-1)

بعد از تولید هر نقطه، قدر مطلق آن را با ثابت R مقایسه میکنیم. اگر قدر مطلق zk از ثابت R بزرگتر و k کمتر از N  باشد، به اصلاح میگویند نقطه گریخته است و در این صورت عدد k را به آن نقطه انتصاب میدهیم. اگر نقطه نگریزد عدد N را به آن نسبت میدهیم.
نقاط تاریک تصویر گریخته ها هستند. این مجموعه اعداد به N و دو ثابت R و c بستگی دارد.

ثابت شده که دقیقا ۸۸ عدد خودشیفته وجود دارد که کوچکترین آن یک و بزرگترین آنها 

115132219018763992565095597973971522401 است.

 

یکی از مسائل رایج در علوم مهندسی یافتن مقدار کمینه یا بیشنه توابع چند متغیره است که طبق معمول، این کار را نیز به کمک کامپیوتر انجام میدهند. یافتن مقدار بیشینه برای کامپیوتر مانند پیدا کردن قله تپه در هوای مه آلود است برای آدمی. کامپیوتر فقط تعریف تابع را داد و هیچ ایده ای در مورد موقیعت قله ندارد بلکه از یک نقطه حدسی شروع کرده و در جهت بیشترین شیب که همان بردار گرادیان تابع است مسافتی را طی کرده تا به نقطه جدیدی برسد. سپس و از آنجا دوباره بیشترین شیب را دنبال میکند و همینطور ادامه میدهد تا به قله برسد. اما در حالت کلی یافتن مسافت بهینه  در هر مرحله کار دشواری است، از این رو معمولا روش ساده گام های کوچک را بکار میبرند. در این روش در هر مرحله مسافت کمی در جهت بردار گرادیان پیش رفته تا به نقطه جدید برسد. سپس در نقطه جدید مجددا بردار گرادیان محاسبه میشود و همینطور تا قله پیش میرود. این روش ساده هم معمولا به خوبی روش مسافت بهینه جواب میدهد اما ممکن است نیاز به محاسبه گرادیان به دفعات بسیار زیاد باشد.
بطور کلی الگوریتم دنبال کردن شیب gradient ascent نامیده میشود. یکی از مشکلات این الگوریتم و الگوریتم های مشابه این است که ممکن است، بستگی به نقطه شروع، به جای ماگزیمم مطلق، به ماگزیمم نسبی را پیدا کنند. در این نقطه بردار گرادیان صفر میشود  و الگوریتم بر این گمان است که به قله رسیده است.
یافتن مقدار کمینه تابع کاملا مشابه همین الگوریتم است با این تفاوت که در هر مرحله باید در جهت عکس بردار گرادیان پیش رفت که در این حالت gradient descent نامیده میشود.
#ریاضیات_کاربردی

فرض کنید n دونده از یک نقطه روی دایره‌ی به محیط واحد به طور همزمان و با سرعت‌های متفاوت شروع به دویدن کنند. یک دونده تنها خوانده می‌شود اگر فاصله‌اش از تمام دونده‌های دیگر بیشتر از \({1\over n}\)  (یک تقسیم بر n) باشد. حدس دونده تنها (Lonely runner conjecture) می‌گوید با گذشت زمان محدود همه دونده‌ها بالاخره در لحظاتی تنها می‌شوند. 

درستی این حدس که درسال ۱۹۶۷ مطرح شده است فقط برای مقادیر برابر با ۲، ۳، ۴، ۵، ۶ و ۷ به اثبات رسیده است.

مارپیچ اولام (Ulam spiral) یک نمایش گرافیکی از مجموعه اعداد اول است که توسط ریاضیدان استانیسلاو اولام در سال 1963 طراحی شده است و مدت کوتاهی بعد از آن در ستون بازی های ریاضی مارتین گاردنر در مجله Scientific America منتشر شد. این نمایش با نوشتن اعداد صحیح مثبت در یک مارپیچ مربع شکل و سپس علامت گذاری اعداد اول در آن ساخته شده است.

اولام و گاردنر تاکید زیادی بر ظاهر قابل توجه اقطار افقی و عمودی که حاوی تعداد زیادی از اعداد اول هستند داشتند. هر دو آنها اشاره كردند كه وجود چنین خطوط برجسته ای غیر منتظره نیست، زیرا این خطوط به چندجملهای درجه دومی مربوط می شوند که مانند چندجمله‌ای مشهور اویلر (x^2 - x + 41) رشته‌هایی از اعداد اول تولید می‌کنند. مارپیچ اولام با مسایل عمده حل نشده در نظریه اعداد مرتبط است.