همه پست‌ها

49

متن مقاله را در اینجا  ببینید.

 

32

اگر موفق به طراحی ارقام فارسی با این خاصیت شدید تصویر آن را در قسمت نظرات به اشتراک بگذارید.

27

27

26

شکل فوق با شروع از یک مثلث قائم الزاویه و با ساختن مربع هایی روی اضلاع و‌ پاره خط ها رسم شده است.

اگر موفق به اثبات هریکی از ادعاهای فوق شدید راه حل را در قسمت نظرات به اشتراک بگذارید.

26

25

23

اسپیروگراف (به انگلیسی: Spirograph) یا چرخ‌نگار که در ایران با نام دوایر جادوییِ اقلیدس شناخته می‌شود، نوعی اسباب‌بازی است که برای کشیدن اَشکال هندسیِ پدیدآمده از منحنیهای ریاضی با روشِ درون‌چرخه‌زاد (چرخش دایره‌ها روی محیط یکدیگر) به‌کار می‌رود. اسپیروگراف اولین بار به‌دست دنیس فیشر گسترش یافت و در سال ۱۹۶۵ به بازار ارائه شد.

از واژهٔ اسپیروگراف برای نام بردن از گسترهٔ ابزارهایی که برای کشیدن چنین اشکالی به‌کار می‌روند هم استفاده می‌شود. حتی می‌تواند برای نامیدن منحنی‌های درون‌چرخه‌زاد نیز به‌کار رود. اسپیروگراف از زمان خریده شدنِ شرکت دنیس فیشر به‌دست شرکت اسباب‌بازی‌سازی هازبرو، یک نشان تجاری ثبت‌شدهٔ شرکت هازبرو است.

نقل از ویکی‌پدیا

 

در سایت دسموس که ابزار رسم آنلاین نمودار توابع ریاضی است با فرمول‌های دوایر جادویی آشنا شوید و با بازی کردن با پارامترهای تابع اشکال دلخواه رسم کنید.

21

20

ثابت شده که دقیقا ۸۸ عدد خودشیفته وجود دارد که کوچکترین آن یک و بزرگترین آنها 

115132219018763992565095597973971522401 است.

 

20

رابطه‌ای که در شکل نمایش داده شده صورتی تغییر یافته از تابع گاماست. تابع گاما (Γ) تعمیمی از تابع فاکتوریل برای اعداد حقیقی و مختلط (بجز اعداد صحیح منفی) بدست میدهد. 

تعمیم تعریف فاکتوریل (1x2x3x...xN) به خارج از مجموعه اعداد طبیعی از قرن ۱۷هم مورد توجه ریاضیدانانی مثل برنولی بوده است. با وجود اینکه تابع گاما کاربرد مشخصی ندارد تحقیقات نظری مفصلی در مورد آن انجام شده است و مهمترین دلیل آن همین خاصیت تابع گاماست. برای دیدن بعضی از این نتایج ویکی پدیا را ببینید.

همچنین در قسمت نظرات تصاویر بیشتری را راجع به تابع گاما مشاهده کنید.

 

 

20

19

18

دنباله ریکامان (Recamán's sequence) با شروع از صفر و با اضافه یا کم کردن اعداد متوالی طبیعی و با ترجیح تولید کوچکترین اعداد بدست می‌آید. به طور مشخص هرگاه تفریق ممکن باشد عدد طبیعی بعدی را از آخرین عدد دنباله کم میکنیم تا عدد بعدی بدست بیاید. به این ترتیب جملات اول دنباله عبارتند از:

۰   

۰ + ۱ = ۱

۱ + ۲ = ۳

۳ + ۳ = ۶

۶ - ۴ = ۲

۲ + ۵ = ۷

۷ + ۶ =‌ ۱۳

...

به نظر می رسد که این دنباله بتواند همه اعداد طبیعی را تولید کند ولی این ادعا به عنوان یک مسئله حل نشده ریاضی باقی مانده است.

برای مثال جستجو برای عدد ۸۵۲۶۵۵ در ۱۰ به توان ۲۳۰ جمله اول دنباله بی نتیجه بوده است. 

 

18

تابع زتای ریمان، بصورت مجموع جملات سری نامتناهی ساخته شده با وارون توان های (حقیقی و مختلط) اعداد طبیعی تعریف میشود. در نگاه اول به نظر می رسد که تابع زتا برای مقادیر حقیقی s کوچکتر یا مساوی یک واگراست و مقداری ندارد. اما ریمان با روشی که به  تعمیم آنالیتکی تابع موسوم است مقادیری برای ورودی های خارج از دامنه به این تابع نسبت داده است. برای نمونه بر اساس این روش به ازای مقدار 1- برای ورودی s مقدار تابع برابر با 1/12- است.


موضوع شگفت انگیز در مورد این مقادیر توجیه پذیری آنها به کمک عملیات ساده ضرب و جمع است برای مثال توجیه برابری فوق را در قسمت نظرات این پست ببینید.

13

الگوریتمی که شرح آن در تصویر آمده است را با نام الگوریتم اقلیدس میشناسند. این الگوریتم  بزرگترین مقسوم علیه مشترک دو عدد را پیدا میکند.

در این روش ابتدا مستطیلی با طولی و عرضی برابر با اعدادی که می‌خواهیم بزرگترین مقسوم علیه مشترک آنها را پیدا کنیم در نظر میگیریم و سپس تلاش میکنیم تا شکل را با بزرگترین مربع‌های ممکن پوشش دهیم.

بزرگترین مقسوم علیه مشترک دو عد برابر با اندازه آخرین مربع خواهد بود.

اگر می‌توانید علت درستی این ادعا را توضیح دهید، در قسمت نظرات کامنت بگذارید.

12

بردار های ویژه و مقادیر ویژه ماتریس کاربرد وسیعی در علوم مهندسی و ریاضیات کاربردی دارند.
اگر ماتریس مربعی A به ابعاد  nxn را در بردار n بُعدی u ضرب کنیم، حاصل این ضرب  بردار n بعدی v میشود:  Au=v
اگر v در امتداد u  واقع شود u بردار ویژه ماتریس است، یعنی Au=lamda*u

که در این صورت lamda مقدار ویژه متناظر با بردار ویژه u است. اهمیت رابطه فوق در این است که یک عدد جایگزین ماتریس شده است.
بردار ویژه در واقع فقط یک امتداد است. یعنی اگر u بردار ویژه باشد، a*u نیز بردار ویژه است که a میتواند 1- نیز باشد. هر ماتریس nxn اگر دترمینان آن صفر نباشد، n  بردار ویژه دارد و اگر ماتریس متقارن  باشد همه lamda  ها و u  ها حقیقی اند. یافتن مقادیر ویژه و بردار های ویژه ماتریس های با n>2 مستلزم حل معادله درجه n  است که برای n های بزرگ کاری بسیار دشوار است. روشهایی برای یافتن بردارهای ویژه ابداع شده است که ساده ترین آنها  Power Iteration است. این روش فقط بردار ویژه متناظر با بزرگترین lamda  را می یابد ولی فرایند بسیار ساده ای دارد:
1. یک بردار تصادفیx0  را برداشته و ماتریس را در آن ضرب کنید: x1=Ax0
2. بردار حاصل را بر طول خودش تقسیم کرده تا بردار واحد شود.

3. ماتریس را در بردار واحد حاصل ضرب کنید و عملیات مرحله های 2  و 3 را تکرار کنید تا زمانی که بردار حاصل هم جهت با بردار مضروب شود.

4. بردار حاصل بردار ویژه است و طول آن قبل از آنکه واحد شود برابر با قدر مطلق lamda است.
 

5=1+4

12=2+5

21=3+6

?=8+11

بیشتر ببینید