بردار ویژه، مقدار ویژه و تکرار توانی Power Iteration

بردار های ویژه و مقادیر ویژه ماتریس کاربرد وسیعی در علوم مهندسی و ریاضیات کاربردی دارند.
اگر ماتریس مربعی A به ابعاد  nxn را در بردار n بُعدی u ضرب کنیم، حاصل این ضرب  بردار n بعدی v میشود:  Au=v
اگر v در امتداد u  واقع شود u بردار ویژه ماتریس است، یعنی Au=lamda*u

که در این صورت lamda مقدار ویژه متناظر با بردار ویژه u است. اهمیت رابطه فوق در این است که یک عدد جایگزین ماتریس شده است.
بردار ویژه در واقع فقط یک امتداد است. یعنی اگر u بردار ویژه باشد، a*u نیز بردار ویژه است که a میتواند 1- نیز باشد. هر ماتریس nxn اگر دترمینان آن صفر نباشد، n  بردار ویژه دارد و اگر ماتریس متقارن  باشد همه lamda  ها و u  ها حقیقی اند. یافتن مقادیر ویژه و بردار های ویژه ماتریس های با n>2 مستلزم حل معادله درجه n  است که برای n های بزرگ کاری بسیار دشوار است. روشهایی برای یافتن بردارهای ویژه ابداع شده است که ساده ترین آنها  Power Iteration است. این روش فقط بردار ویژه متناظر با بزرگترین lamda  را می یابد ولی فرایند بسیار ساده ای دارد:
1. یک بردار تصادفیx0  را برداشته و ماتریس را در آن ضرب کنید: x1=Ax0
2. بردار حاصل را بر طول خودش تقسیم کرده تا بردار واحد شود.

3. ماتریس را در بردار واحد حاصل ضرب کنید و عملیات مرحله های 2  و 3 را تکرار کنید تا زمانی که بردار حاصل هم جهت با بردار مضروب شود.

4. بردار حاصل بردار ویژه است و طول آن قبل از آنکه واحد شود برابر با قدر مطلق lamda است.