ارسال شده از darbare.com

56

اگر موفق به اثبات این ادعا شدید راه حل را در قسمت نظرات به اشتراک بگذارید

31

یکی از مسائل رایج در علوم مهندسی یافتن مقدار کمینه یا بیشنه توابع چند متغیره است که طبق معمول، این کار را نیز به کمک کامپیوتر انجام میدهند. یافتن مقدار بیشینه برای کامپیوتر مانند پیدا کردن قله تپه در هوای مه آلود است برای آدمی. کامپیوتر فقط تعریف تابع را داد و هیچ ایده ای در مورد موقیعت قله ندارد بلکه از یک نقطه حدسی شروع کرده و در جهت بیشترین شیب که همان بردار گرادیان تابع است مسافتی را طی کرده تا به نقطه جدیدی برسد. سپس و از آنجا دوباره بیشترین شیب را دنبال میکند و همینطور ادامه میدهد تا به قله برسد. اما در حالت کلی یافتن مسافت بهینه  در هر مرحله کار دشواری است، از این رو معمولا روش ساده گام های کوچک را بکار میبرند. در این روش در هر مرحله مسافت کمی در جهت بردار گرادیان پیش رفته تا به نقطه جدید برسد. سپس در نقطه جدید مجددا بردار گرادیان محاسبه میشود و همینطور تا قله پیش میرود. این روش ساده هم معمولا به خوبی روش مسافت بهینه جواب میدهد اما ممکن است نیاز به محاسبه گرادیان به دفعات بسیار زیاد باشد.
بطور کلی الگوریتم دنبال کردن شیب gradient ascent نامیده میشود. یکی از مشکلات این الگوریتم و الگوریتم های مشابه این است که ممکن است، بستگی به نقطه شروع، به جای ماگزیمم مطلق، به ماگزیمم نسبی را پیدا کنند. در این نقطه بردار گرادیان صفر میشود  و الگوریتم بر این گمان است که به قله رسیده است.
یافتن مقدار کمینه تابع کاملا مشابه همین الگوریتم است با این تفاوت که در هر مرحله باید در جهت عکس بردار گرادیان پیش رفت که در این حالت gradient descent نامیده میشود.
#ریاضیات_کاربردی

30

مارپیچ اولام (Ulam spiral) یک نمایش گرافیکی از مجموعه اعداد اول است که توسط ریاضیدان استانیسلاو اولام در سال 1963 طراحی شده است و مدت کوتاهی بعد از آن در ستون بازی های ریاضی مارتین گاردنر در مجله Scientific America منتشر شد. این نمایش با نوشتن اعداد صحیح مثبت در یک مارپیچ مربع شکل و سپس علامت گذاری اعداد اول در آن ساخته شده است.

اولام و گاردنر تاکید زیادی بر ظاهر قابل توجه اقطار افقی و عمودی که حاوی تعداد زیادی از اعداد اول هستند داشتند. هر دو آنها اشاره كردند كه وجود چنین خطوط برجسته ای غیر منتظره نیست، زیرا این خطوط به چندجملهای درجه دومی مربوط می شوند که مانند چندجمله‌ای مشهور اویلر (x^2 - x + 41) رشته‌هایی از اعداد اول تولید می‌کنند. مارپیچ اولام با مسایل عمده حل نشده در نظریه اعداد مرتبط است. 

29

28

25

در فرم کلی تر برای هر عدد دلخواه n فقط تعداد محدودی از توانهای کامل اعداد طبیعی با تفاضل n وجود دارند. توضیحات بیشتر را در ویکی پدیا ببینید.

 

اثبات ریاضی دان رومانیایی (Preda Mihăilescu) را در اینجا ببینید.

25

اثبات این ادعا را در این مقاله ببینید.

23

همانطور که در شکل نشان داده شده است، حاصلضرب اویلر برابر با تابع زیتای ریمان است. شگفتی این برابری در این است که یک مجموع نامتناهی با یک حاصلضرب نامتناهی برابر شده است.

اثبات زیبای این برابری را میتوانید در این لینک ببینید.

23

مساحت دو قسمت قرمز و آبی که در شکل مشخص شده اند با هم برابر و قوس ها همه نیم دایره اند. مقدار d را چقدر است.
 

21

17

اگر موفق به حل این مسئله شدید پاسخ را در قسمت نظرات به اشتراک بگذارید.

17

بطور کلی قدر مطلق مقدار دترمینان ماتریس مربعی n در n برابر با حجم متوازی الاضلاعی است که با نقاط در فضای n بعدی ساخته میشود. در نمونه دو بعدی دترمینان مساحت متوازی الاضلاع را بدست میدهد.

بطور شهودی میتوان تصور کرد که در فضای سه بعدی هر گاه هر سه بردار قرمز رنگ روی یک صفحه باشند مقدار دترمینان صفر خواهد بود.

16

Frobenius norm ماتریس برابر است با جذر مجموع مربعات عناصر ماتریس.

15

شکل هندسی زیبایی که سری فوریه نشان داده شده به آن همگرا میشود نتیجه یک اشتباه در محاسبات است. قصد داشتم استوانه را با سری فوریه دو بعدی بازسازی کنم ولی در نتیجه اشتباه در نوشتن بسط فوریه استوانه، این شکل که کمی با استوانه متفاوت است بدست آمد. سقف استوانه ها اندکی انحنا دارد و در مقایسه با باز سازی صحیح استوانه، لبه های استوانه  برآمدگی (پدیده گیبز) بسیار کمتری دارند.بازسازی صحیح را نیز انجام داده ام ولی این شکل از آن زیباتر است.
شکل بر اساس فرمول های درج شده بالای تصویر ساخته شده است اما آن فرمول ها با بسط فوریه استوانه کمی تفاوت دارد. در بسط فوریه صحیح، جملاتی که m یا n غیر صفر دارند باید در 2 ضرب شوند؛ یعنی جملاتی که در آن m و n اگر هر دو  صفر باشند ضریب 1 میگیرند، اگر فقط یکی از آن دو غیر صفر باشند ضریب 2 و اگر هر دو غیر صفر باشند ضریب 4.  در این شکل برای همه جملات ضرایب 1 بکار رفته است.

12

مقدار دقیق A مشخص نیست ولی مقدار تقریبی A برابر با 1.306377883863080690 است. همچنین کسی نمی‌داند که آیا A عددی گویا یا گنگ است. اولین اعداد اولی که توسط این تابع و به ازای مقادیر ۱ تا ۵ برای n تولید میشوند عبارتند از:

2

11

1361

2521008887

16022236204009818131831320183

 

اثبات کوتاه میلز را میتوانید در اینجا ببینید.

12

بیشتر ببینید