درکارتون فوتبالیست ها، بارها شاهد صحنه هایی بوده ایم که با عبور کاپیتان سوباسا از خط وسط زمین و پیشروی او به سمت دروازه حریف، کم کم دروازه و دروازه بان از پشت انحنای کره زمین ظاهر میشوند.
به فرض اینکه طول زمین 90 متر و ارتفاع دروازه 2.44 متر است و دوربینی که صحنه را میبیند روی کفش کاپیتان سوباسا نصب شده است، شعاع کره زمین چند متر است؟
 

هزاران سال است که انسان به گرد بودن زمین پی برده است و حتی بیش از دو هزار سال است شعاع آن را نیز اندازه گرفته است.  در قرن سوم پیش از میلاد، دانشمندی یونانی که در شهر اسکندریه زندگی میکرد شعاع زمین را با اندازه گیری اختلاف زاویه تابش خورشید ظهرگاهی در دو شهر دور از هم که در امتداد شمال -جنوب قرار داشتند محاسبه کرد. برای این محاسبه نیاز به دانستن فاصله بین دو شهر وجود داشت که اندازه گرفتن آن کاری دشوار و همراه با خطا بود.
ابوریحان بیرونی نیز حدود ۱۰۰۰ سال پیش شعاع کره زمین را با دقت بسیار خوبی اندازه گرفت. او برای این محاسبه از زاویه تابش خورشید استفاده نکرد بلکه از بالای کوه بلندی که به دشت مشرف بود  با استفاده از اسطرلاب زاویه دید خود به افق را اندازه گرفت. طبق روابط مثلثاتی، با دانستن ارتفاع کوه و زاویه دید به افق، میتوان شعاع کره زمین را حساب کرد. اما ابوریحان ارتفاع کوه را نیز نمی‌دانست. برای محاسبه ارتفاع قله، از دو نقطه روی زمین زاویه دید قله را اندازه گرفت و سپس با داشتن این دو زاویه و فاصله بین دو نقطه که زیاد از هم دور نبودند، معادله ای مثلثاتی را حل کرد و ارتفاع قله را بدست آورد. سپس با دانستن ارتفاع قله و زاویه دید به افق از نوک قله، شعاع زمین را  بدست می آید.  تا آن زمان دانشمندان دیگر نقاط جهان با این روش آشنا نبودند.

اگر نمودار یک تابع را قیافه آن تابع بدانیم، تابع گاما بد قیافه ترین تابعی است که تا کنون دیده ام. اگر تابعی قِناس تر از تابع گاما سراغ دارید لطفا معرفی کنید.

چندی پیش خبر تهیه اولین تصویر سیاهچاله در کانالهای خبری و شبکه های اجتماعی پیچید.‌ این تصویر در واقع صحنه ۵۵ میلیون سال پیش است، چون آنقدر از ما دور است که ۵۵ میلیون سال طول کشیده است تا نور آن به ما برسد. ضمنا تصویر را از نور مرئی بدست نیاورده اند بلکه آن را از امواج رادیویی که از سیاهچاله رسیده است و با روش محاسباتی خاصی نتیجه گرفته اند. با اندکی ریاضیات میشود نشان داد که تصویر دو بعدی منبع امواج برابر است با تبدیل فوریه الگوی تداخل آن بر روی زمین.
خود سیاهچاله را نمیشود دید ولی با دریافت امواج الکترومغناطیسی اطراف آن می‌شود سیاهی اش را تشخیص داد.  نزدیک ترین سیاهچاله  مناسب برای رویت همین سیاهچاله M87 است که ۵۵ میلیون سال نوری از ما دور است. از خورشید ۲۷,۰۰۰ بار بزرگتر و میلیاردها بار سنگینتر است. قطر ظاهری آن در آسمانِ زمین به اندازه ای کوچک است که مثلا بخواهیم از روی قله دماوند تار مویی را در ساحل خلیج فارس در شهر بوشهر تشخیص دهیم. زاویه رویت این سیاهچاله نزدیک به یک «صد میلیونم» درجه است. قویترین تلسکوپ های نوری قدرت تشخیص چنین زاویه کوچکی را ندارند؛ به عنوان مثال قدرت تشخیص تلسکوپ Hubble  یک «صد هزارم» درجه است. برای تشخیص M87 از روش تداخل امواج استفاده شده است که در آن لازم است از نقاط مختلف روی زمین تصویر رادیویی ثبت شود. هرچه فاصله نقاط بیشتر باشد اجسام دورتری را میتوان تشخیص داد، و هر چه تعداد نقاط بیشتر باشد کیفت تصویر بهتر است. تعداد ۸ تلسکوپ رادیویی در چند نقطه کره زمین نصب کرده اند که با چرخش کره زمین موقعیتشان نسبت به سیاه چاله تغییر کرده و تصاویر مستقل ثبت میکنند. هر تلسکوپ خود از ده ها و گاهی صدها آنتن تشکیل شده است. به مدت 8 ساعت تصاویر فراوانی از M87 تهیه کرده و سپس داده ها را با هواپیما به یک آزمایشگاه مرکزی حمل کردند. به علت حجم بسیار بالای داده ها، هواپیما بسیار زودتر از اینترنت آنها را به مقصد میرساند.

در آزمایشگاه مرکزی با کمک یک کامپیوتر پرقدرت، تصاویر ثبت شده از ایستگاه های مختلف را همزمان کرده و سپس الگوی تداخل آنها را بدست آوردند. سپس با محاسبه تبدیل فوریه دو بعدی الگو ی تداخل، این شکل نه چندان واضح را بدست آوردند. با افزایش تعداد نقاط تصویر برداری و افزایش فاصله آنها میتوان تصویر واضح تری بدست آورد.

این نقاشی افسون کننده کار یک هنرمند نیست بلکه کار یک تابع مختلط است. این تابع برای هر نقطه از صفحه مختلط، یک سری اعداد طبیعی تولید میکند.با رنگ کردن هر نقطه بر اساس مقدار عدد آن، چنین تصویری بوجود می آید.
تابع مولد این مجموعه بسیار ساده است. برای عدد مختط z تابع f(z)=z*z+c را تعریف میکنیم که در آن c عددی ثابت است. آنگاه با شروع از نقطه اولیه z0  ، مجموعه ای از اعداد مختلف را اینگونه تولید میکنیم:

 

z1=f(z0)

 

z2=f(z1)

 

zk=f(zk-1)

...

zN=f(zN-1)

بعد از تولید هر نقطه، قدر مطلق آن را با ثابت R مقایسه میکنیم. اگر قدر مطلق zk از ثابت R بزرگتر و k کمتر از N  باشد، به اصلاح میگویند نقطه گریخته است و در این صورت عدد k را به آن نقطه انتصاب میدهیم. اگر نقطه نگریزد عدد N را به آن نسبت میدهیم.
نقاط تاریک تصویر گریخته ها هستند. این مجموعه اعداد به N و دو ثابت R و c بستگی دارد.

یکی از مسائل رایج در علوم مهندسی یافتن مقدار کمینه یا بیشنه توابع چند متغیره است که طبق معمول، این کار را نیز به کمک کامپیوتر انجام میدهند. یافتن مقدار بیشینه برای کامپیوتر مانند پیدا کردن قله تپه در هوای مه آلود است برای آدمی. کامپیوتر فقط تعریف تابع را داد و هیچ ایده ای در مورد موقیعت قله ندارد بلکه از یک نقطه حدسی شروع کرده و در جهت بیشترین شیب که همان بردار گرادیان تابع است مسافتی را طی کرده تا به نقطه جدیدی برسد. سپس و از آنجا دوباره بیشترین شیب را دنبال میکند و همینطور ادامه میدهد تا به قله برسد. اما در حالت کلی یافتن مسافت بهینه  در هر مرحله کار دشواری است، از این رو معمولا روش ساده گام های کوچک را بکار میبرند. در این روش در هر مرحله مسافت کمی در جهت بردار گرادیان پیش رفته تا به نقطه جدید برسد. سپس در نقطه جدید مجددا بردار گرادیان محاسبه میشود و همینطور تا قله پیش میرود. این روش ساده هم معمولا به خوبی روش مسافت بهینه جواب میدهد اما ممکن است نیاز به محاسبه گرادیان به دفعات بسیار زیاد باشد.
بطور کلی الگوریتم دنبال کردن شیب gradient ascent نامیده میشود. یکی از مشکلات این الگوریتم و الگوریتم های مشابه این است که ممکن است، بستگی به نقطه شروع، به جای ماگزیمم مطلق، به ماگزیمم نسبی را پیدا کنند. در این نقطه بردار گرادیان صفر میشود  و الگوریتم بر این گمان است که به قله رسیده است.
یافتن مقدار کمینه تابع کاملا مشابه همین الگوریتم است با این تفاوت که در هر مرحله باید در جهت عکس بردار گرادیان پیش رفت که در این حالت gradient descent نامیده میشود.
#ریاضیات_کاربردی

برای اسباب کشی مجبورید کاناپه خود را از پیچ 90 درجه راهرو تنگی به عرض 1 متر بگذرانید. این  را یک مساله را دو بعدی در نظر بگیرید و کاناپه را یک شکل دلخواه تصور کنید که میتواند هیچ شباهتی هم به کاناپه نداشته باشد. بزرگترین کاناپه ای که میتوان از پیچ راهرو گذراند چند متر مربع مساحت دارد؟
مساحت این کاناپه به ثابت کاناپه معروف است. ریاضیدانان هنوز مقدار دقیق این ثابت را نیافته اند ولی توانسته اند ثابت کنند که عددیست بین 2.2195  و 2.37.

بدون شرح.

همانطور که در شکل نشان داده شده است، حاصلضرب اویلر برابر با تابع زیتای ریمان است. شگفتی این برابری در این است که یک مجموع نامتناهی با یک حاصلضرب نامتناهی برابر شده است.

اثبات زیبای این برابری را میتوانید در این لینک ببینید.

حساب مشترک

توان فکری انسان های گذشته نیز به اندازه امروزی ها بود اما در آن زمان حجم دانش و تکنولوژی و دغدغه های مربوطه بسیار کمتر بود. از این رو بسیار رایج بود که دانشمندی در چند زمینه علمی و فلسفی و حتی مذهبی فعالیت کند و آثاری از خود به جا بگذارد. دانشمندان مسلمان مانند خوارزمی، فاربی، ابن سینا، خیام و بسیاری دیگر چنین بودند و تا همین چند قرن پیش دانشمندان اروپایی نیز چنین بودند، با این تفاوت جزئی که دانشمندان مسلمان عمامه بر سر میگذاشتند و دانشمندان اروپایی کلاه گیس.

این دو آدم حسابی که در تصویر میبینید دو چهره بسیار تاثیر گذار در تاریخ علم و فلسفه و تکنولوژی اند که در قرن هفدهم و اوایل قرن هجدهم میلادی میزیستند. با اینکه یکی انگلیسی بود و دیگری آلمانی، این دو بزرگوار با هم یک «حساب» مشترک دارند که امروزه به نام حساب دیفرانسیل و انتگرال میشناسیم.

نیوتون یتیم به دنیا آمد و زمانی که سه ساله بود مادرش او را به مادربزرگش سپرد و خود ازدواج کرد. در دوازده سالگی موفق شد به مدرسه برود و دانش رایج آن زمان را در حد دانش آموزی فرابگیرد. زمانی که هفده ساله بود مادرش دوباره بیوه شد و اینبار نیوتون را از مدرسه بیرون آورد تا کار کشاورزی خانواده را به عهده او بسپارد. اما مدیر مدرسه با اصرار فراوان موفق شد مادر را قانع کند تا نیوتون را به مدرسه بفرستد تا دبیرستان را به پایان برساند. اسحاق که دانش آموز برتر مدرسه شده بود در سن نوزده سالگی در کالج ترینیتی پذیرفته شد. ابتدا با شغل پیشخدمتی هزینه زندگی خود را تامین میکرد تا اینکه پس از دو سال از دانشگاه بورسیه دریافت کرد. در این سالها نیوتون دانش آن زمان که عمدتا بر اساس آثار ارسطو بودند و اخیرا با ظهور فلاسفه و دانشمندانی مانند دکارت و گالیله کاملتر شده بودند را فراگرفت و حتی روش های جدیدی نیز در ریاضیات کشف کرد. زمانی که بیست و سه ساله بود، به علت شیوع وبا، دانشگاه به مدت دو سال تعطیل شد. نیوتون این دو سال را در منزل مادربزرگ سپری کرد؛ دو سال سرشار از خلاقیت و دانش آفرینی. در این مدت با تمرکز و تلاش فکری فراوان، قوانین گرانش و حرکت، و حساب دیفرانسیل و انتگرال را کشف کرد و مباحثی را نیز در نورشناسی پایه گذاری کرد. مورد اول تاثیر زیادی بر دانش فیزیک و مهندسی و بر روشها و دیدگاه های دانشمندان پس از او گذاشت. حساب دیفرانسیل نیز نقش بسیار زیادی در رشد دانش پس از نیوتون داشته و دارد.

پس از افتتاح مجدد کالج، نیوتون به کالج برگشت و با یافته های علمی خود استاد خود را شگفت زده کرد. یک سال بعد به سمت استادی برگزیده شد و پس از آن شهرت او در بین دانشمندان زمان بیشتر شد اما علاقه زیادی به نوشتن کتاب نداشت و فقط جزوه های کوتاهی در مورد کشفیات خود مینوشت. حدود بیست سال بعد، کتاب «اصول ریاضی فلسفه طبیعی» را در مورد گرانش و حرکت اجرام آسمانی نوشت که آن را تاثیر گذارترین کتاب در تاریح علم میدانند چون نه تنها قوانینی کشف کرده بود که دنیای علم فیزیک را کاملا متحول کرده بود، بلکه با استفاده از حساب دیفرانسیل و انتگرال خود به توصیف دقیق پدیده های جهان هستی پرداخته بود. چند سال پس از آن نیز کتاب جامعی در مورد حساب دیفراسیل و انتگرال نوشت. تقریبا تمام مباحث علمی که در نیوتون در طول عمر خود در مورد آن نوشت حاصل فعالت ذهنی او در همان دوسال تعطیلی دانشگاه بود و این ثابت میکند که تعطیل کردن دانشگاه ها به رشد علم کمک می کند! نیوتون سالهای زیادی از عمر خود را نیز در مشاغل دولتی گذراند و آثاری نیز در زمیته الهیات و حتی کیمیاگری نگاشت.

این حساب دیفرانسیل و انتگرال ماجرای جالبی دارد. حدود نه سال پس از آنکه نیوتون این حساب را بوجود آورده و آن را در حل مسایل مربوط به حرکت به کار برده بود، دانشمند بزرگی به نام «لایب نیتز» در آلمان نیز این حساب را ابداع کرد که دقیقا همان حساب نیوتون بود و تنها درعلامات و نشانه ها با آن تفاوت داشت. اما او بر خلاف نیوتون یافته های علمی خود را به صورت کتاب چاپ کرد. سالها بعد که یک ریاضی دان فرانسوی به نام «لوپیتال» این کتاب را مطالعه میکرد متوجه شد که کتاب نیوتون نیز تقریبا همه در مورد همین حساب و کاربردهای آن است. اوایل مشکلی پیش نیامد و دو دانشمند با هم آشنا شدند و کارهای هم را تایید کردند اما طرفداران نیوتون شروع کردند به متهم کردن لایپ نیتز به سرقت علمی، و نیوتون خود نیز کم کم وارد میدان شد. طبق قوانین امروز، کسی که زدوتر ایده ای را چاپ کرده مالک آن ایده است و لایب نیتز زودتر کتاب خود را نوشته بود، هر چند همه میدانستند نیوتون سالها پیش ازلایب نیتز به این علم پرداخته بود. چون در آن زمان چنین قانونی نبود، این جدال طولانی شد تا جایی که کمیته ای مسول بررسی شد که اعضای این کمیته عمدتا را طرفداران نیوتون تشکیل می دادند. حکم کمیته این بود که لایب نیتز تقلب کرده و ایده نیوتون را به شکلی دیگر ارائه کرده است. لایپ نیتز که دانشمند بزرگی بود و ابداعات زیادی داشت از این اتهام بسیار رنجید و تا زمان مرگ نیز از اتهام تبرئه نشد.

امروزه اعتقاد بر این است که این دو بزرگوار این شاخه از علم را مستقلا کشف کرده اند و هر دو صاحب این حساب هستند و از این رو عنوان این یادداشت را حساب مشترک نامیده ام. مفاهیم دو حساب یکی است ولی علایمی که لایب نیتز به کار برده بود مناسب تر و قابل فهم تر بودند و از این رو کم کم رایج تر شدند. امروزه در کتب علمی به ندرت از علایم نیوتون استاده میشود مگر گاهی که میخواهند که مشتق تابع نسبت به متغیر زمان را نشان دهند.

 

 

 

پیش از نیوتن، کپلر با اتکا به مشاهدات تجربی، چند قانون در مورد حرکت سیارات استخراج کرده بود. اولین قانون کپلر این است که مسیر حرکت سیارات به دور خورشید بیضی است و خورشید در یکی از این کانون های این بیضی قرار دارد.
نیوتون و با کشف مبانی ریاضی نیروی گرانش و قوانین مکانیک موفق شد قوانین کپلر را با روشهای ریاضی اثبات کند. در ملاقاتی که بین نیوتن و ادموند هالی رخ داد، نیوتن با اعتماد به نفس میگوید که مسیر حرکت سیارات به دور خورشید بیضوی است چون این را محاسبه کرده است. اما اثبات این ادعا به روش کاملا ریاضی سالها ریاضی دانان از جمله خود او را خسته کرد.
امروزه با پیشرفت هایی که در شاخه های معادلات دیفرانسیال و آنالیز برداری  صورت گرفته است این اثبات نسبتا آسان است و تمرین خوبی است برای رسیدن به فهم عمیق تر این مباحث.
اطلاعات بیشتر حول این موضوع و همچنین اثبات امروزی  ادعای نیتون را میتوانید در این لینک ببینید.

حافظه مورد نیاز را که محاسبه کنید جواب سوال معلوم میشود. حتی اگر حافظه کافی برای ذخیره ماتریس موجود باشد، زمان مورد نیاز برای حل دستگاه، عددی نجومی خواهد شد.
اما معمولا چنین است که بیشتر عناصر ماتریس ضرایب صفر هستند و  نیاز به ذخیره آنها نیست.  گاهی چنین معادلاتی با چند میلیون مجهول را نیر میتوان روی کامپیوتر معمولی حل کرد.

این سوال جالب و نسبتا ساده را در یک کتاب آمادگی آزمون ورودی یکی از مدارس راهنمایی خصوصی دیدم، یعنی دانش آموز کلاس ششم باید این را جواب بدهد. فکر میکنم برای دانش آموزان متوسط و حتی خوب سخت است.

مساحت دو قسمت قرمز و آبی که در شکل مشخص شده اند با هم برابر و قوس ها همه نیم دایره اند. مقدار d را چقدر است.
 

جاسازی بهینه n دایره در یک دایره، بطوری که فضای آزاد بین دایره ها کمترین باشد، یکی از مسائل رایج در ریاضیات کاربردی است. یافتن این چیدمانهای بهینه برای برخی از مقادیر n چندان هم ساده نیست. به عنوان مثال برای n=13، مساله تا سال 2003 حل نشده بود.
قطر دایره های کوچک در تصویر 1 است و قطر دایره دربرگیرنده هر گروه زیر آن نوشته شده است. مثلا میتوان 12 دایره به قطر واحد را در یک دایره به قطر 4.029 جا داد.

رابطه‌ای که در شکل نمایش داده شده صورتی تغییر یافته از تابع گاماست. تابع گاما (Γ) تعمیمی از تابع فاکتوریل برای اعداد حقیقی و مختلط (بجز اعداد صحیح منفی) بدست میدهد. 

تعمیم تعریف فاکتوریل (1x2x3x...xN) به خارج از مجموعه اعداد طبیعی از قرن ۱۷هم مورد توجه ریاضیدانانی مثل برنولی بوده است. با وجود اینکه تابع گاما کاربرد مشخصی ندارد تحقیقات نظری مفصلی در مورد آن انجام شده است و مهمترین دلیل آن همین خاصیت تابع گاماست. برای دیدن بعضی از این نتایج ویکی پدیا را ببینید.

همچنین در قسمت نظرات تصاویر بیشتری را راجع به تابع گاما مشاهده کنید.

 

 

پاسخ را در قسمت نظرات به اشتراک بگذارید

تالس در زمان کورش بزرگ در میلتوس یونان میزیست ولی همدوره پدر و پدربزرگ کورش بود. میلتوس اکنون در ترکیه قرار دارد.
در هندسه قضیه ای داریم به نام «قضیه تالس» که بیان میکند: اگر یک ضلع مثلث بر قطر دایره ای منطبق باشد، راس سوم مثلث، هر کجا روی آن دایره قرار بگیرد، زاویه آن قائمه است.

روایت داریم که تالس به شکرانه این کشف گاو نری در پیشگاه یکی از خدایان قربانی کرد.

ریاضیات و هندسه ای که به ما رسیده است از تالس شروع شد. دیگر پیشگامان این علم، از قبیل فیثاغورث، اقلیدس، افلاطون، ارسطو و دیگران که همه هم یونانی بودند بعد از تالس آمدند.

 

متن از حسن ابراهیمی (نام کاربری LesterFarley)

متن و عکس را از صفحه اینستاگرام خود کپی و در سایت درباره آپلود کرده ام.

 

نمایش هندسی این الگوریتم در یکی از پست های گذشته آورده شد. این تصویر الگوریتم اقلیدس را به روش حسابی و با کمک کسرهای مسلسل شرح می دهد.

کاریکارتور دو ریاضی دان نامی فرانسوی، ژوزف فوریه و آدرین-ماری لژاندر ، توسط  هنرمند هم عصر ایشان.
از فوریه پرتره هایی وجود دارد ولی کاریکاتور لژاندر تنها تصویر موجود از  اوست. به مدت دو قرن ( حتی تا امروزه) نقاشی نمیرخ سیاست مدار فرانسوی، لویی لژاندر، به اشتباه به جای آدرین-ماری لژاندر معرفی میشد.

مقاومت معادل شبکه مقاومتی نرده ای که در تصویر دیده میشود تقریب خوبی برای عدد e  میدهد و با افزایش تعداد نرده ها به سرعت به e میل میکند.
به الگوی مقاومت ها دقت کند.
این حد را میتوان با استفاده از کسر های مسلسل ( continued fractions)  ثابت کرد. در این مورد پست جداگانه ای خواهم نوشت.