اگر دو کره k1 و k2 را مماس بر صفحه و مخروط در نظر بگیریم نقاط تماس کانون‌های بیضی خواهند بود. توجه کنید که PP1 و PF1 برابرند چون هر در پاره خط بر کره k1 مماسند بنابراین مجموع فاصله هر نقطه دلخواه P  که روی نقاط برخورد صفحه و مخروط قرار دارند از کانون‌های F1 و F2 برابر طول پاره‌خط P1P2 است.

16

اثبات این ادعا برای حالت‌های خاص چندان مشکل نیست. اگر موفق شدید ثابت کنید که هیچ مثلث متساوی الاضلاعی روی نقاط صفحه شطرنجی قابل رسم نیست راه حل خود را در قسمت نظرات به اشتراک بگذارید.

20

تصویر این پست توجیهی دیداری از تناظر نقاط روی پاره‌خط و محور اعداد را بدست میدهد. این برابری تلویحا به این معنی است که تعداد نقاط روی هر پاره خط از یک خط راست با تعداد کل نقاط روی خط برابر است.

به نظر شما چه اشکالی در این ادعا وجود دارد؟ در قسمت نظرات در این مورد بحث کنید.

14

26

37

آخرین رکورد ثبت شده در کتاب گینس برای به خاطر سپاری هفتاد هزار رقم از ارقام عدد پی در سال ۲۰۱۵ و توسط رجیور مینا (Rajveer Meena) از ولور در هند بدست آمده است. بازخوانی این ارقام با چشمان بسته و در مقابل چشم داوران گینس بیش از ۱۰ ساعت به طول کشیده است.

تصویری از این نوجوان را در بخش نظرات و مطالب بیشتر در این مورد را در اینجا ببینید.

33

فرض کنید دو جرم فیزیکی که وزن یکی بزرگتر از دیگری است، در یک دنیای بدون اصطکاک روی سطحی و در مقابل یک دیوار قرار دارند. فرض کنید جسم سنگین‌تر بر اثر یک ضربه به سمت جسم سبک‌تر حرکت میکند تا به آن برخورد کند. پس از برخورد مقداری از سرعت جسم سنگین‌تر کم میشود و در عوض جسم سبک‌تر با سرعت بیشتری به حرکت در می‌آید تا به دیوار بخورد و به سمت جسم سنگین‌تر برگردد و با آن برخورد کند. در اثر این برخورد‌ها هر بار سرعت هر دو جسم عوض می‌شود تا اینکه نهایتا هر دو جسم در جهت مخالف دیوار به سمت بینهایت حرکت میکنند بدون اینکه برخورد دیگری داشته باشند.

 

با شمارش تعداد برخوردهای این دوجسم میتوان ارقام عدد پی را محاسبه کرد. تعداد ارقام محاسبه شده به نسبت وزن دو جسم بستگی دارد. جدول زیر تعداد برخوردها و رابطه آن با نسبت وزنی دو جرم را نشان میدهد نشان میدهد:

 

نسبت وزن دو جسم -> تعداد برخوردها

1 -> 3

10 -> 31

100 -> 314

1000 -> 3141

10000 -> 31415

100000 -> 314159

1000000 -> 3141592

10000000 -> 31415926

….

همانطور که دیده میشود تعداد برخوردها ارقام عدد پی را بدست میدهد.

 

اگر موفق به اثبات این ادعا شدید راه‌حل را در قسمت نظرات به اشتراک بگذارید. در غیر اینصورت لینک حاوی توضیحات بیشتر و اثبات این ادعا را در قسمت نظرات ببینید.

25

برای دیدن فرمول  اینجا را ببینید.

34

فرض کنید ۱۰۰ کیلوگرم سیب زمینی داریم که ۹۹٪ وزن تشکیل دهنده آن آب است. با گذشت زمان مقداری از آب سیب زمینی‌ها از دست می‌رود و حالا ۹۸٪ وزن تشکیل دهنده‌ آنها آب است. حالا سیب‌زمینی‌ها ۵۰ کیلوگرم وزن دارند.

از اونجایی که این اختلاف وزن کاملا خلاف انتظار است به این موضوع پارادوکس سیب زمینی می‌گوید. 

آیا می‌توانید این ادعا را اثبات کنید؟

15

با کمک این ابزار آنلاین می‌توانید با دادن یک مجموعه از نقاط در قسمت input data و انتخاب تعداد دوایر (جملات بسط فوریه) منحنی دلخواه خود را رسم کنید.

اگر موفق به رسم شکل جالبی شدید تصویر شکل و نقاط مرجع را در قسمت نظرات به اشتراک بگذارید.

 

21

اعداد داخل مربع اندازه اضلاع می‌باشند. ساختن مربع با مربع‌های کامل برخلاف ظاهرش یک مسئله مدرن است که با استفاده از قوانین فیزیک الکتریسته حل شده است.

پیدا کردن کمترین تعداد مربعهای کامل که مربع دیگری را پر کنند، بعد از گذشت ۴۰ سال از مطرح شدن این مسئله و با استفاده از کامپیوتر در سال ۱۹۷۸ حل شده است.

ثابت شده که پرکردن یک مکعب با مکعب‌های کامل بطور مشابه امکان پذیر نیست. همچنین جالب است که با وجود اینکه مجموع مربعات اعداد متوالی ۱ تا ۲۴ برابر با توان دوم ۷۰ است، بطور هندسی نمی‌توان با کنار هم گذاشتن این ۲۴ مربع، مربع ۷۰ در ۷۰ درست کرد.

مجموعه بزرگی از مربع‌های کامل را در اینجا ببینید.

16

31

فرض کنید n دونده از یک نقطه روی دایره‌ی به محیط واحد به طور همزمان و با سرعت‌های متفاوت شروع به دویدن کنند. یک دونده تنها خوانده می‌شود اگر فاصله‌اش از تمام دونده‌های دیگر بیشتر از \({1\over n}\)  (یک تقسیم بر n) باشد. حدس دونده تنها (Lonely runner conjecture) می‌گوید با گذشت زمان محدود همه دونده‌ها بالاخره در لحظاتی تنها می‌شوند. 

درستی این حدس که درسال ۱۹۶۷ مطرح شده است فقط برای مقادیر برابر با ۲، ۳، ۴، ۵، ۶ و ۷ به اثبات رسیده است.

23

38

این عدد اول ۲۴،۸۶۲،۰۴۸ رقمی توسط یک متخصص آی تی ۳۵ ساله ساکن فلوریدای آمریکا کشف شده است. پاتریک یکی از هزاران نفری است که بخشی از توان محاسباتی کامپیوترهای شخصی‌اش را به نرم افزار محاسباتی GIMP که به جستجو برای اعداد اول مرسن مشغول است اهدا کرده است. شما هم میتوانید به این پروژه بپیوندید و شاید عدد اول بعدی را شما پیدا کنید!

14

25

مسئله چهار رنگ اولین مسئله بزرگ ریاضی است که با کمک کامپیوتر به اثبات رسیده است. اینکه برای رنگ کردن یک نقشه پنج رنگ همیشه کافی است و سه رنگ کفایت نمیکند از سال ۱۸۰۰ برای ریاضی دانان به اثبات رسیده بود ولی کافی بودن چهار رنگ علیرغم تلاش ریاضی دانان برای سالهای دراز تا سال ‍‍۱۹۷۶ به اثبات نرسیده بود. اولین بار در سال ۱۸۵۲ این ادعا بصورت یک حدس ریاضی معرفی شد.

اثباتی که توسط دو ریاضی دان آمریکایی در سال ۱۹۷۶ برای این قضیه ارائه شد، تا سال‌ها مورد قبول جامعه ریاضی دان قرار نگرفت. زیرا تایید صحت عملکرد برنامه کامپیوتری بصورت سیستماتیک در آن زمان ممکن نبود. در سال ۲۰۰۵ با تولید اولین نرم افزار مخصوص اثبات قضایای ریاضی (Coq) که امکان فرمول بندی منطقی را در زبان برنامه نویسی بدست میداد بالاخره این اثبات تایید شد. در مورد نرم افزارهای proof assisstant اینجا را ببینید.

14

18

15

19

18

29

تصویر کلیسای Corpus Christi را در  اینجا  ببینید.

عدد ۲۶۶۸ رقمی نمایش داده شده در تصویر را اینجا ببینید و اگر خواستید اول بودن آن را با استفاده از  این ابزار آنلاین  امتحان کنید. توضیح اینکه این عدد چگونه پیدا شده را در  پست منبع  این مطلب ببینید. 

آیا میتوانید عدد اولی با نمایش مقبره حافظ را پیدا کنید؟

 

100101077777777777777077777777777777777777077777777777777777777710100107777777777777020777777777777777777020777777777777777777771001000777777777777770777777777777777777770777777777777777777777777777777777777777770507777777777777777770507777777777777777777777777777777777777770551077777777777777770155077777777777777777777777777777777777777055507777777777777777055507777777777777777777777777777777777777700003777777700777777730000777777777777777777777777777777777777704333077777708807777770333407777777777777777777777777778777777777000007777771001777777000007777777777777777777777877707777777777709990777771055017777709990777777777770777777777777770177777777770999077771055550177770999077777777771077777777777777047777777777099907717053003507177100007777777777407777777777777010777777778700080050051111115005008000777777777701077777777777701077777777771099000511000000115000999077777777770107777777777777247777777777000001115051111605111001007777777777327777777777777700777778777709930150011500511005103990777777777700777777777777770778777777710993000111108801111000399017777877777077777777777777047777777700000001111115005111112000000078777777407778777700070056011001105505990111111111111111109950550110011065007000706560655550055005550090011111160051111110090055500550055556065605555555555555555555009001115088988805111009005555555555555555555000000550000000000009090111908888880911109090000000000005500000011111055011111111110909011108888888801110909011111111110550111119511105501115995111090901118008008008111090901115995111055011159085110550116800851103030111888888888811103030115900851206501158008011000011080080110535011188888888891110535011080080110000110800801105501108008010900001118888888888111000090108018011055011080080210550110800801105550111000033000011105650110800801105501108008011055011080080110595034000000000999330595011080080110550110803331105501133333311093305555655555555555033901133333312055011333000000550000000000009590999999999999999909590000000000005500000011115055051111111110949011111121111111110949011111111150550511111111105501111111111092901119000100009111092901111111111055011112111110000111111211109590121088898888011109590111111111100001111185111055011158911110959011108008800801111959011119851110550111580051106501150008111092901110088888800111092901118000511055011500083110550113808011005590111018888880011109550011080831105501138008311055011380801105555501100888888001105555501108083110560113900031105611130000110555550110088888800110555550110000311055011300111105555011111111055555011008888880011055555011111111055550111211110555501111111105555501100888888001105555501111111105500000000000055550000000000555550000088888800000555550000000000550120397

20

اگر موفق به یافتن کوچکترین عددی که داری این خاصیت در مبنای ۲، ۳، ۴، ۵ و ۶ شدید در قسمت نظرات به اشتراک بگذارید.

21

اگر رشته‌ي اعدادی که با جایگزین کردن هر عدد با مجموع مربعات ارقام آن بدست می‌آید به یک پایان یابد آن عدد را خوشحال (Happy) می‌نامند. 

برای هر عدد طبیعی n میتوان n عدد متوالی خوشحال (Happy Number) پیدا کرد. برای مثال ۱۸۸۰٬‍۱۸۸۱ و ۱۸۸۲ سه عدد طبیعی خوشحال هستند. 

اولین رشته متوالی از ۶ عدد متوالی خوشحال با ۷۸۹۹۹۹۹۹۹۹۹۹۹۹۵۹۹۹۹۹۹۹۹۹۶  شروع می‌شود.

 

بیشتر ببینید