20

13

در ریاضیات، آجر اویلر یا مکعب اویلر که به‌نام لئونارد اویلر نامگذاری شده است، مکعبی است که لبه‌ها و تمامی قطر‌های آن اعدادی طبیعی هستند. آجر اصلی اویلر نیز به مکعبی گفته می‌شود که طول‌های آن نسبت به هم اول باشند. 

ابعاد یک آجر اویلر را می‌توان مطابق با پاسخ معادله سیاله زیر در نظر گرفت.

{\begin{cases}a^{2}+b^{2}=d^{2}\\a^{2}+c^{2}=e^{2}\\b^{2}+c^{2}=f^{2}\end{cases}}

در رابطه فوق a,b,c برابر با طول لبه‌ها بوده و d,e,f نشان‌دهنده قطر‌ها هستند. این مکعب‌ها ویژگی‌هایی خاص داشته از این رو از آن در علوم و مهندسی استفاده می‌شود.

کوچک‌ترین آجر اویلر در سال ۱۷۱۹ توسط «پاول هالک» (Paul Halcke) بدست آمد. لبه‌های این آجر برابر است با:

(d,e,f ) = (125, 244, 267)

در ادامه برخی دیگر از مهم‌ترین ابعاد یافته شده به عنوان آجر اویلر نیز ارائه شده‌اند.

(85,132,720) — (157,725,732)

(140,480,693) — (500,707,843)

(160,231,792) — (281,808,825)

(187,1020,1584) — (1037,1595,1884)

(195,748,6336) — (773,6339,6380)

(240,252,275) — (348,365,373)

(429,880,2340) — (979,2379,2500)

(495,4888,8160) — (4913,8175,9512)

(528,5796,6325) — (5820,6347,8579)

آجر کامل

یک آجر کامل، مکعبی اویلری محسوب می‌شود که قطر فضایی آن نیز عددی صحیح است. به عبارتی دیگر معادله زیر نیز باید بین ابعاد اصلی (یا همان لبه‌ها) برقرار باشد. قطر فضایی، قطری است که دو گوشه مخالف مکعب را به هم وصل می‌کند.

{\displaystyle a^{2}+b^{2}+c^{2}=g^{2},}

در رابطه فوق g نشان‌دهنده قطر فضایی است. تاکنون کسی مکعبی کامل را پیدا نکرده و هیچکس نیز هنوز وجود نداشتن مکعب کامل را اثبات نکرده است.

آجر اصلی کامل یا آجر اولیه کامل نیز به مکعبی گفته می‌شود که هم لبه‌ها و قطر‌های وجوه آن، اعدادی صحیح بوده و همزمان نسبت به هم اعدادی اول باشند.

آجر تقریبا کامل

یک مکعب تقریبا کامل، از 7 طول، دارای 6 طول صحیح است. چنین مکعب‌هایی را می‌توان در سه دسته حجمی، طولی یا سطحی تقسیم‌بندی کرد. در مورد مکعب حجمی، طول قطر فضایی عددی گنگ است. در مکعب طولی نیز یکی از لبه‌های a،b،c عددی گنگ خواهد بود.

نویسنده:سجاد اسدی

 

 

12

همین الان با استفاده از یکی از ابزارهای آنلاین سعی کنید بزرگترین مقسوم علیه مشترک دو عدد n^17+9 و (n+1)^17+9 را به ازای مقادیر مختلف n محاسبه کنید. خواهید دید که این مقدار برابر یک خواهد بود. در حقیقت اگر با شروع از یک مقادیر n را با سرعت هزاران مقدار در ثانیه در رابطه بگذارید تا پایان عمر جهان نتیجه یک خواهد بود. 

با این وجود این الگو برای همه مقادیر n درست نیست و در حقیقت اولین باری که مقسوم علیه مشترک این دو عدد غیر از یک خواهد بود به ازای مقدار زیر برای n میباشد:

8424432925592889329288197322308900672459420460792433

22

در ریاضیات به یک عدد زمانی عدد شگفت انگیز گفته می‌شود که n رقم آخر مربع عدد، برابر با خود عدد باشد. برای مثال 625 = 25*25 و 5776 = 76*76. این اعداد به نام اعداد اتومورفیک نیز نامیده می‌شوند.

اعداد اتومورفیک بزرگ‌تری مانند 212890625  و 787109376 نیز وجود دارند:

2128906252 = 45322418212890625

و

7871093762 = 619541169787109376

همچنین باید بدانید که اگر n رقم آخر مربع عدد برابر با خود عدد باشد، این رابطه در مورد مکعب عدد و توان‌های بالاتر نیز صدق می‌کند. مشخص شده است که برای هر n>1 دو عدد شگفت انگیز به طول n وجود دارد.

حتی یک فرمول نیز برای این دو عدد وجود دارد. فرمول نخست به صورت باقیمانده 5 به توان 2n تقسیم بر 10nاست و دومی به صورت 10n + 1 منهای اولی است.

نویسنده:سجاد اسدی

 

18

23

20

جالب اینجاست که در این بین ۲۳۹ و ۲۳ تنها دو عددی هستند که ۹ مکعب لازم دارند و سایر اعداد با یک تا هشت مکعب کامل قابل بازسازی هستند.

 

در حالت کلی برای هر عدد طبیعی n یک عدد طبیعی s وجود دارد بطوریکه میتوان همه اعداد طبیعی را بصورت مجموع حداکثر s توان n ام نوشت. برای مثال هر عدد طبیعی را میتوان بصورت مجموع حداکثر ۱۹ توان چهارم نوشت. درستی این قضیه که به مسئله وارینگ مشهور ۱۴۰ سال بعد از مطرح شدن آن در سال ۱۹۰۹ توسط هیلبرت به اثبات رسیده است. در ویکی‌پدیا راجع به آن بیشتر بدانید.

12

همواره می‌توان با تعداد محدودی برش ساده قسمت‌های یک چندضلعی دلخواه رو طوری بازچینی کرد که چندضلعی دلخواه دیگری با مساحت برابر را بپوشاند. این قضیه صرف نظر از شکل چند ضلعی‌ها و محدب یا مقعر بودن آنها صحیح است. اثبات این ادعا چندان مشکل نیست و در سال ۱۸۰۷ برای اولین بار به انجام رسیده است. 

برای دانستن بیشتر در مورد این مسئله ویکی‌پدیا را ببینید.

 

هیلبرت ریاضی دان معروف که در زمان حیاتش فهرستی از مهمترین مسایل ریاضی حل نشده را منتشر کرد در سومین مسئله این سوال را مطرح کرد که آیا معادل این مسئله در فضای سه بعدی برای چندوجهی‌هایی با حجم برابر هم درست است یا نه. به عبارت دیگر آیا میتوان با تعداد محدودی برش مستقیم و جابجایی و چرخش قطعات یک چند وجهی را (مثلا یک هرم) به یک چند وجهی دیگر (مثلا یک مکعب) با حجم برابر تبدیل کرد. دوسال بعد و در زمان حیات هیلبرت یکی از شاگردانش نشان داد که این موضوع همواره امکان‌پذیر نیست. در ویکی‌پدیا بیشتر بخوانید.

14

مسئله بروکارد یافتن پاسخ‌های معادله !m*m = 1 + n در مجموعه اعداد طبیعی است. این مسئله در سال ۱۸۷۶ برای اولین بار مطرح شد. تاکنون سه جواب برای این معادله پیدا شده است و حدس زده میشود جواب دیگری وجود ندارد.

درباره این مسئله و جوابهای دیگر آن ویکی‌پدیا را ببینید.

27

26

بدون شرح.

20

البته عبارت صفر به توان صفر در این رابطه یک فرض شده که فرضی نادرست است و با کنار گذاشتن آن فقط ۳۴۳۵ و یک دارای این خاصیت هستند. اگر موفق به اثبات این ادعا شدید راه حل خود را در قسمت نظرات به اشتراک بگذارید.

21

16

چند وقت پیش در حین انجام محاسباتی به این سری رسیدم. آن را جایی ندیده ام و میتوانم بگویم اوریجینال است، ولی یقین دارم ریاضی دانها و یا حد اقل فیزیکدانها با مفهوم آن آشنایند هر چند ممکن است به این صورت مطرح نکرده باشند. از آنجا که سری شامل سه مجموع است با دو حد بی نهایت است، اثبات ریاضی آن شاید دشوار باشد ولی با استفاده از قوانین الکترو مغناطیس نسبتا به راحتی اثبات میشود.

15

23

52

سلام

از اینکه همراه این کانال هستید قدردان و متشکریم.

اگر از مطالب ارسال شده در این کانال راضی هستید با باز نشر مطالب بین دوستان و گروه‌های مرتبط از این کانال حمایت کنید.

ضمنا اگر مطلب جالبی در موضوع ریاضیات تفریحی پیدا کردید به سایت درباره بفرستید تا با نام شما در کانال منتشر شود. انجام این کار بسیار ساده است و کمک بزرگی در حفظ تداوم مطالب خواهد کرد. برای نمونه پست‌های کاربرانی مثل LesterFarley و Cvv را ببینید. لطفا از ارسال پرسش‌های ریاضی و مطالب درسی خودداری کنید.

اگر هر سوال یا پیشنهادی دارید در زیر همین پست مطرح کنید.

30

39

27

26

35

36

اگر نمودار یک تابع را قیافه آن تابع بدانیم، تابع گاما بد قیافه ترین تابعی است که تا کنون دیده ام. اگر تابعی قِناس تر از تابع گاما سراغ دارید لطفا معرفی کنید.

22

به راحتی میتوان نشان داد که برای هر مقدار k میتوان k عدد متوالی پیدا کرد که هیچکدام اول نباشند.برای این کار‌ کافیست k عدد متوالی با شروع  2+!(k+1) را در نظر بگیرید (! علامت فاکتوریل است). این اعداد بسیار بزرگ که از حاصل ضرب اعداد متوالی یک تا k+1 به علاوه ۲ شروع می‌شوند به ترتیب بر اعداد متوالی ۲ تا k+1 بخش پذیرند و‌ بنابراین اول نیستند. به عبارت دیگر فاصله اعداد اول متوالی میتواند به هرمقدار دلخواه بزرگ باشد. روش بالا نشان میدهد که فاصله دو عدد اولی که به ترتیب از ۲+!۱۰۱ و ۱۰۱+!۱۰۱ کوچکتر و بزرگتر هستند از ۱۰۰ بیشتر است. 

فرمول نمایش داده شده در این تصویر حد بسیار بهتری برای فاصله بین اعداد اول متوالی است که در سال ۲۰۱۴ و توسط دو گروه ریاضی دان و در دور روز متوالی و به دو روش مختلف بدست آمده است.

بر اساس این فرمول که برای اعداد n به حد کافی بزرگ صحیح است، همواره یک رشته متوالی از اعداد غیر اول بین nامین عدد اول و عدد اول بعد از آن به طول قابل محاسبه توسط این فرمول وجود دارد.

 

در ویکی پدیا مورد این رابطه بیشتر بخوانید.

28

فرما یکی از ریاضی دانانی است که عادت نداشته اثبات ادعاهای خودش را بنویسد. البته در موارد متعددی مانند معادله معروفش که تا ۳۰۰ سال ریاضی‌دانان را به خود مشغول کرده بود ادعا کرده که ادعای خودش را به اثبات رسانده ولی حال و حوصله یا جای کافی روی حاشیه کتاب برای نوشتن راه حل خود ندارد.صحت ادعای فرما در مورد معادله معروفش X^n+Y^n=Z^n نهایتا در سال ۲۰۰۶ توسط اندرو وایلز و پس از یک عمر تحقیق و در بیش از ۱۰۰ صفحه به اثبات رسید.

یک ادعای دیگر فرما که سالها بدون اثبات ماند بیان میکند که هر عدد اول فرد را میتوان به صورت مجموع دو مربع کامل نوشت اگر و فقط اگر باقی مانده تقسیم آن بر ۴ برابر با یک باشد. برای مثال 41=4^2+5^2. امتحان کردن این ادعا برای اعداد اول کوچک بسیار آسان است.

با وجود تلاش ریاضی دانان اثبات این ادعا برای ۱۰۰ سال بی نتیجه ماند تا اینکه اویلر اثبات نسبتا پیچیده‌ای برای این ادعا در سال ۱۷۲۵ منتشر کرد. بعدا ریاضیدانهای دیگر اثباتهای جدیدی برای این قضیه ارائه کردند. لاگرانژ، گاوس و چندین ریاضی دان دیگر از این جمله اند ولی همه اثبات‌های ارائه شده پیچیده و طولانی هستند.

در نهایت زگیر (Zagier) ریاضی دان آمریکایی در سال ۱۹۹۰ موفق شد اثبات بسیار ساده و کوتاهی که به اثبات یک جمله‌ای مشهور است برای این قضیه ارائه کند. در این صفحه ویکی پدیا بعضی از این اثبات‌ها از جمله اثبات یک جمله‌ای را ببینید. البته اثبات یک جمله‌ای برای ریاضی دوستان ممکن است به چند جمله توضیح اضافه احتیاج داشته باشد.

بیشتر ببینید